1、 所以高为 频率分布直方图如下: 2分 第一组的人数为,频率为,所以 第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为,所以 第四组的频率为,第四组的人数为 所以 6分 ()因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1, 所以采用分层抽样法抽取18人,岁中有12人,岁中有6人,随机变量 所以随机变量的分布列为X123P 10分数学期望 12分19.()证明:由四边形为菱形,可得为正三角形. 因为为的中点,所以.又,因此.2分 因为,所以.而, 且,所以,又. 所以 4分 ()解:为上任意一点,连接.由()知, 则为直线与平面所成的角. 所以 当最短时,最大, 即 当时,最大
2、. 此时 .又,所以 所以 6分解法一:因为, 所以. 过作于,则, 过作于,连接,则为二面角的平面角, 8分 在Rt中,,10分 又是的中点,在Rt中,, 又 在Rt中, 即所求二面角的余弦值为 12分解法二:由()知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标 系,又分别为的中点,所以, 所以8分 设平面的一个法向量为 10分 所以,故为平面的一个法向量. 又,所以. 因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为.12分20解:()设椭圆的方程为,则, 抛物线的焦点为, 2分 又, 由、得, 所以椭圆的方程为 4分()依题意,直线的斜率为-1,由此设直线的方程为, 代入椭圆的方程,得,
3、 由,得 .6分 记、, 则, 圆的圆心为, 半径, 8分 当圆与轴相切时, 即, .10分 当时,直线的方程为, 此时,圆心为(2,1),半径为2, 圆的方程为; 同理,当时,直线的方程为, 此时,圆心为(-2,-1),半径为2, 12分21.解:()的定义域为 2分 当时,则在内单调递减 4分 当时,单调递减; ,单调递增 6分()当时,由(1)可知在内单调递减,在内单调递增 , 8分 即, 令 而,易知时,取得最大值,即 10分 12分22.解:() 由是圆的切线,因此=, 在等腰中,可得,所以 . 5分() ,由切割线定理可知, ,则,又,可得 . 10分23. 解:()曲线的普通方程为 直线的参数方程为 5分()将的参数方程为代入曲线的方程得: 10分24.解: ()当时,不等式为 当时,不等式即, 综上,不等式的解集为 5分() 当时,单调递减,无最小值; 当时,在区间上单调递减,在上单调递增, 处取得最小值 当时,单调递增,无最小值; 综上, 10分