二重积分的反常积分文档格式.docx

1、Key words: Double integral, Abnormal , Generalized.1引言与定积分相同，我们也可以把二重积分推广到积分区域是无界的 和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。2无界区域上的二重积分2.1定义反常二重积分是数学分析中的一个重要内容，用它来计算泊松 （Poissor）积分，或是用它来证明 B函数与r函数的关系式，都是十分简捷的。在概率、统 计、数理方程等学科中，反常二重积分也被广泛的引用。所以，对反常二重积分给 出一个严格、明确而又易于运用的定义，是十分有益的。定义1 f（x,y）为定义在无界区域D上的二元函数，若对于平面上任一包围原点的光滑

2、封闭曲线，f （x, y）在曲线 所围的有界区域E与D的交集E D = D 上二重可积。令d =mi n , x2 y2 |（ x, y） ，若存在有限极限：且与 的取法无关，则称f （x, y）在D上的反常二重积分收敛，并记：I l f （x ,y d；二d lJ:m f* d y（1）否则称f （x, y）在D上的反常二重积分发散，或简称| |f（x,y）d；发散2.2 ! f （x, y）d 收敛的判定定理1设在无界区域D上f （X,y） _0 , - 2,，n，为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足（i） dn =inf X2 - y2 | （x,y .（n ）；（ii） I 二 su

3、p | f （x, y）d ；：:， n D；其中Dn =En D， En为n所围的有界区域，这时反常二重积分（1）必定收敛，并且 II f （x, y）d 二 I证 设为任何包围原点的光滑封闭曲线，它所围成的区域记为e，并记d =e D。因为li mdn - :，因此存在 n，使得 D D xJDCD。由于f （x, y） _ 0，所以有f （x,y）d；乞 f （x,y）d 二 d ；= Iim 11 e2 a j R2 DaR2 211 eJx y）d ；- -： （1 _ eDa显然a_. 时Da R2，因此有2 2 2丄% yd；- Iim一恵（1 -e）=二2-_ie J dx显然

4、当丨一;时有Dl - R2，因此有I-x e8 2dx2 .二e* dx2由此得到e dx .:氟a注：事实上概率论中很重要的泊松积分- . 2edx的计算有更为简便的算法,J-Q0因的原函数不能用初等函数表示，故用一元广义积分的方法不能求出该积分的值。2e_函数。小结：在计算反常二重积分时，一般选择有利于计算的特殊区域 （如圆、 形等）扩展方式，讨论相应极限的存在性。2.3 B函数与:函数的联系证明：若p 0, q - 0 ,则B（ p ,q 尸证对于-函数，令x = u 2则dx = 2udu ， : 2于是-（p） dx = 2 q du从而 2 ： ：】（P）】（q） = 4 x?pe

5、 亠 dx y2q %_y dy0 -0令Dr =0, R 0, R，由二重积分化为累次积分的计算公式，有x. 0 , y 0.Dr （x ,y） |x 2y 2r ,于是有（p）】（q） =4 x2py2qe”x2 . 22p-1 2q_1_（x -y ）=lim 4 x y e d cr- j： Dr对上式积分应用极坐标变换，则得r 2（P） （q） iim 4 2 d， 2（p q） / cos 2p A sin 2q erdr=lim 2 2cos2pdsin q_4 2 r p2q _eU2rdrr 斗： 0 - 03T=2。彳。0您二 sPndv. p （q ）又 B（p,q） =

6、2 2sin2qcos2p_d - （ ph （q）二 B（p,q）】（p - q）.定理3（比较判别法）设D是平面R2中无界区域，f（x,y）, g（x,y）是D上的函数， 在D的任何有界可求面积的子区域上可积，并且0 _ f （x , y ）_ g （x , y0）那么ii f （x,y）dxdy 收敛时；i i g （x, y）dxdy 发散时。当 iig（x,y）dxdy 收敛时，（2）当 11 f （x, y） dxdy 发散时，例 3 设 0 ： m _ （x, y） _M，讨论（:,I pdxdy 的敛散性。o 沁（1 x y ）解：0乞y叮为无限带状区域,m ” W（x,y）|

7、 ” M2 2p 兰 2 2p 兰 2 2 p（1 x y ） （1 x y ） （1 x y ）1所以原积分与积分 2 2 pdxdy同时敛散0&（1 +x +y ）而后者当P岂0时明显发散，下面只需讨论p 0的情况 1 ” 1 ”10 2 p 2 2 p 2 p（2 x ） （1 - x - y ） （1 x ）在-A, A 0,1上取积分，并令A ，:,可知:址 dx dxdy 址 dxf ff 0;显然,，0空f - x, y勻f x, y I，所以f - X, y在D上的可积。故f x, y = f x,y - f _x,y也在D上的可积必要性用反证法.设f （x, y）在D上的可积

8、， 但| f （x, y） |=f x, y + f -x,y在D上的不可积，即f x,y和f - x,y至少有一个不可积。 不妨设f * x,y不可积，那么对任意正数K ,存在一条曲线，它从D割出有 界的D （r ）满足： f （x, y）dxdy亠K . 一般地,由归纳可得，存在一族分段光滑D（）曲线J），它们将D分割出有界子区域Dk二DC Q, （k =12）满足D!二 D2 二二 Dn 二，及 lim d C n）n并且 U f x, y）dxdy a 2 f （x, y）|dxdy +n （n=1,2, ）n （n=1,2,）Dn 1. DnJJ f *x,y）dxdy |j|f （

9、x, y）dxdyDnDn 1 4容易得f x, y在Dn1-Dn所以，当把- Dn充分细因f x,y 在D上可积，f （x,y）在Dn.-Dn上可积,上可积。 其Darboux小和收敛于 II f （x, y）dxdy ，D n 1 n的分划P：._（1） ._（2） ._（Sn）n ，- n , n记Pn为AO的小区域的并，那么令En为Dn和Pn的并,-ii f （x, y）dxdy 亠 h f （x, y） dxdy . n -1（n =1,2, ）.D n Pn如果En不是一个连通区域，我们可以作几个长条矩形连接各个不 相交的区域，使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记 为工n ,这些长条矩形的取法，使得f （x, y）dxdy _ n 2 （n =1,2, ）S显然，n可以充分大，与f （x,y）在D上的可积矛盾。注 对于反常定积分，绝对收敛的反常积分一定收敛，反之不然。而 在反常二重积分中，绝对收敛的反常积分一定收敛，反之亦然。出现 这种区别的原因，是因为直线上的点是有序的，而在平面上的点是无 序的。定理5 （柯西判别法） 设f （x,y）在无界区