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1、有7个人围桌而坐，如果要求每次相邻的人都与以前完全不同，试问不同的就座方案共有多少种？用顶点表示人，用边表示两者相邻，因为最初任何两个人都允许相邻，所以任何两点都可以有边相连。,假定第一次就座方案是（1，2，3，4，5，6，7，1），那么第二次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边。,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,假定第二次就座方案是（1，3，5，7，2，4，6，1），那么第三次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边。,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5

2、,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,假定第三次就座方案是（1，4，7，3，6，2，5，1），那么第四次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边，只留下7点孤立点，所以该问题只有三个就座方案。,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,1,2,3,7,6,4,5,例3：哈密顿（Hamilton）

3、回路是十九世纪英国数学家哈密顿提出，给出一个正12面体图形，共有20个顶点表示20个城市，要求从某个城市出发沿着棱线寻找一条经过每个城市一次而且仅一次，最后回到原处的周游世界线路（并不要求经过每条边）。,例4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A，一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一个考试日程表。,解：以每门课程为一个顶点，共同被选修的课程之间用边相连，按题意，相邻顶点对应课程不能连续考试，不相邻顶点对应课程允许

4、连续考试，因此，作图的补图，问题是在图中寻找一条哈密顿道路，如CEAFDB，就是一个符合要求的考试课程表。,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,C,B,图的基本概念 图论是专门研究图的理论的一门数学分支，主要研究点和线之间的 几何关系。,定义：（图）设G=（V，E，）其中：V=（v1，v2，.vm）是m个顶点集合；E=（e1，e2，.en）是n条边集合。是描述边与顶点之间关系的函数,称G=（V，E，）为 一个图，如果它满足：（1）V非空；（2）E是一个不与V 中顶点相交的

5、边集合；（3）是关联函数。V，E，称为图的三要素。,说明：1、V非空，即没有顶点的图不讨论；2、E无非空条件，即允许没有边；3、条件（2）是指点只在边的端点处相交；4、任一条边必须与一对顶点关联，反之不然。,例5,V=（v1，v2，.v6）E=（e1，e2，.e8）（e1）=（v1，v2）（e2）=（v1，v2）（e7）=（v3，v5）（e8）=（v4，v4）,（e8）=（v4，v4）称为自回路（环）v6是孤立点，v5为悬挂点，e7为悬挂边，顶点v3的次为4，顶点v2的次为3。,定理1：在一个图中，所有顶点次的和等于边的两倍。定理2：在任意一个图中，奇顶点的个数必为偶数。注意：一个图的形状并不

6、唯一。但它的三要素是不能变的。设G=（V，E，）和G1=（V1，E1，1）。如果V1 V，E1 E则称G1为G的子图；如果G1=（V1，E1，1）是G=（V，E，）子图，并且V1=V，则称G1为G的生成子图；,如果V1 V，E1 是E中所有端点属于V1的边组成的集合，则称G1是G的关于V1的导出子图；如果G1=（V1，E1，1）是G=（V，E，）的子图，并且V1=V，则称G1为G的生成子图。,子图,v3,生成子图,v3,导出子图,v3,定义（简单图）如果图中任意两个顶点之间至多有一条边，则称为简单图，否则称为多重图。,定义（简单图）如果图中任意两个顶点之间至多有一条边，则称为简单图，否则称为多

7、重图。定义（有向图）如果图中每一条边都规定了方向，则称为有向图。,定义（链）如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列，则称此为一条链（通路）。定义（圈）如一条链中起点和终点重合，则称此为一条圈。,v1,v5,v4,v2,v3,e1,e8,e7,e6,e5,e4,e3,e2,有向图,v1,v5,v4,v2,v3,e1,e8,e7,e6,e5,e4,e3,e2,有向图,v1,v5,v4,v2,v3,e1,e8,e7,e6,e5,e4,e3,e2,有向图,v1,v5,v4,v2,v3,e1,e8,e7,e6,e5,e4,e3,e2,有向图,v1,v5,v4,v2,v3,e1,e8,e7,e6,

8、e5,e4,e3,e2,有向图,v1,v5,v4,v2,v3,e1,e8,e7,e6,e5,e4,e3,e2,有向图,v1,v5,v4,v2,v3,e1,e8,e7,e6,e5,e4,e3,e2,链,v1,v5,v4,v2,e1,e7,e6,e3,v1,v5,v4,v2,e1,e7,e6,e3,v1,v5,v4,v2,e1,e7,e6,e3,v1,v5,v4,v2,e1,e7,e6,e3,圈,二、图的矩阵表示 一个图非常直观，但是不容易计算，特别不容易在计算机上进行计算，一个有效的解决办法是将图表示成矩阵形式，通常采用的矩阵是邻接矩阵、边长邻接矩阵、弧长矩阵和关联矩阵。,1 邻接矩阵 邻接矩阵

9、A表示图G的顶点之间的邻接关系，它是一个nxn的矩阵，如果两个顶点之间有边相联时，记为1，否则为0。,2、边长邻接矩阵赋权图或网络:在图的各边上一个数量指标，具体表示这条边的权（距离，单价，通过能力）应用网络:无向网络；有向网络；混合网络；边权网络；点权网络边长邻接矩阵:以边长代替邻接矩阵中的元素得到的矩阵,3、弧长矩阵对有向图的弧可以用弧长矩阵来表示。其中表示两点之间没有弧连接。,4、关联矩阵关联矩阵B揭示了图G的顶点和边之间的关联关系，它是一个nxm矩阵。1（vi，vk）=ejBij=-1（vk，vi）=ej 0 其他,树是一类极其简单而很有用的图。链:如果图中的某些点、边可以排列成点和边

10、的交错序列，则称此为一条链。圈:如一条链中起点和终点重合，则称此为一条圈。,连通图与树,连通图：如果图中的任意两点之间至少存在一条链（通路），则称图为连通图，否则为不连通图。树：一个无圈的连通图称为树。如果一个无圈的图中每一个分支都是树，则称图为森林。,连通图与树,1、在树中任意两点之间必有一条而且只有一条通路。2、在树中划去一条边，则图不连通。3、在树中不相邻的两个顶点之间加一条边，可得一个且仅得一个圈。4、树中边数有ne=p-1（p为顶点数）,连通图与树:树的性质,连通图,连通图与树,连通图与树,树,连通图与树,树,连通图与树,树,连通图与树,树,连通图与树,树,定义（生成树）如果图T是G

11、的一个生成子图，而且T又是一棵树，则称图T为一棵生成树。对于分离图，则称为生成森林。一个子图与生成树的区别是：子图与原图相比少弧又少点，生成树与原图相比少弧不少点。,生成树,定理 图 G有生成树的充分必要条件为图是连通图。定义（最优树）在赋权图G中，一棵生成树所有树柱上权的和，称为生成树的权。具有最小权的生成树，称为最优树（或最小树）。求最小树的方法有破圈法和避圈法。,最优树,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23

12、,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,25,3,28,17,4,1,23,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,25,3,28,17,4,1,23,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,3,28,17,4,1,23,破圈法,v1,v7,v

13、4,v3,v2,v5,v6,9,3,28,17,4,1,23,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,3,17,4,1,23,总造价=1+4+9+3+17+23=57,破圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,避圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,避圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,避圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25

14、,3,28,17,4,1,23,36,避圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,避圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,避圈法,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,总造价=1+4+9+3+17+23=57,避圈法,最短路问题,在一个网络中,给定一个始点Vs和一个终点Vt,求Vs到Vt的一条路,使路长最短（即路的各边权数之和最小）。应用领域：两地间的道路铺设，线路安装，道路修筑，运路选取，工厂布局，设备更新。求解算法：狄克斯屈标号法，距离矩阵摹乘法。,狄克斯屈标号法,适用问题：所有权数非负的网络。算法基础：1、固定标号P（V