高考数学大一轮复习 第七章 不等式 73 二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案 理 北师大版文档格式.docx

1、名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：（1）直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线（2）特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取（0,1）或（1,0）来验证知识拓展1利用“同号上，异号下”判断二元一

2、次不等式表示的平面区域对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；（2）当B（AxByC）0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方（）（3）点（x1，y1），（x2，y2）在直线AxByC0同侧的充要条件是（Ax1By1C）（Ax2By2C）0，异侧的充要条件是（Ax1By1C）（Ax2By2C）0.（）（4）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示（）（5）线性目标函数的最优解是唯一的（6）最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解（）（7）目标函数zaxby（b0）中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距（题组二教材改编2不等式组表示的平面区域

3、是（）答案B解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分3投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_（用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨）答案解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地100y900所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.题

4、组三易错自纠4下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是（）A（0,0） B（1,1） C（1,3） D（2，3）答案C解析把各点的坐标代入可得（1,3）不适合，故选C.5（2017日照一模）已知变量x，y满足则z（）2xy的最大值为（）A. B2 C2 D4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m2xy，则当m取得最大值时，z（）2xy取得最大值由图知直线m2xy经过点A（1,2）时，m取得最大值，所以zmax（）2124，故选D.6已知x，y满足若使得zaxy取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值为_答案1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线za

5、xy和直线AB重合时，z取得最大值的点（x，y）有无数个，akAB1，a1.题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题典例 （2017黄冈模拟）在平面直角坐标系中，已知平面区域A（x，y）|xy1，且x0，y0，则平面区域B（xy，xy）|（x，y）A的面积为（）A2 B1C. D.解析对于集合B，令mxy，nxy，则x，y，由于（x，y）A，所以即因此平面区域B的面积即为不等式组所对应的平面区域（阴影部分）的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为21，故选B.命题点2含参数的平面区域问题典例 若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是（）Aa B0a

6、1C1a D0a1或a解析作出不等式组表示的平面区域（如图中阴影部分所示）由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间（包含l2，不包含l1）或l3上方（包含l3）故选D.思维升华 （1）求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可（2）利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解跟踪训练 （1）不等式（x2y1）（xy3）0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（）解

7、析由（x2y1）（xy3）0，可得或画出平面区域后，只有选项C符合题意（2）已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（）A1 B1 C0 D2答案A解析由于x1与xy40不可能垂直，所以只有可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求当x1与kxy0垂直时，k0，检验不符合要求题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值全国）设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是（）A15 B9 C1 D9解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x，并平移该直线知，

8、当直线y2xz经过点A（6，3）时，z有最小值，且zmin2（6）315.故选A.命题点2求非线性目标函数的最值典例 （2016山东）若变量x，y满足则x2y2的最大值是（）A4 B9 C10 D12解析满足条件的可行域如图阴影部分（包括边界）所示，x2y2是可行域上动点（x，y）到原点（0,0）距离的平方，显然，当x3，y1时，x2y2取得最大值，最大值为10.故选C.命题点3求参数值或取值范围典例 变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于（）A2 B1 C1 D2解析对于选项A，当m2时，可行域如图（1），直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正

9、确；对于选项B，当m1时，mxy0等同于xy0，可行域如图（2），直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m1时，可行域如图（3），当直线y2xz过点A（2,2）时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m2时，可行域如图（4），直线y2xz与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确故选C.思维升华 （1）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值（2）当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有表示点（x，y）与原点（0,0）的距离，表示点（x，y）与点（

10、a，b）的距离；表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率（3）当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件跟踪训练 （1）已知实数x，y满足约束条件则z的取值范围为（）A. B.解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z表示点D（2,3）与平面区域内的点（x，y）之间连线的斜率因为点D（2,3）与点B（8,1）连线的斜率为且C的坐标为（2，2），故由图知，z的取值范围为，故选B.（2）已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于（）A3 B2 C2 D3解析根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示由zaxy，得yax

11、z，直线的斜率ka.当0k1，即1a1，即a1时，由图形可知此时最优解为点（0,0），此时z0，不合题意；当1k0，即0a1时，无选项满足此范围；当k1时，由图形可知此时最优解为点（2,0），此时z2a04，得a2.题型三线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解（1）依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3（100xy）2x3y300.（2）约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l