关于电梯系统优化问题的数学模型Word文档格式.docx

1、单轿厢电梯在向上运行时，只有满足了所有“上行请求”时才会开始满足“下行请求”，反之亦然；而对于双轿厢电梯，乘客在进入轿厢前就通过按钮面板选择了要停靠的楼层，系统迅速整合分析接收到的流量数据，并调度合适的轿箱来应接乘客。现有一座商务楼，设计地上层数为28层，地下停车楼2层，每层的建筑面积为1500平方米，楼内有6个用于客梯的电梯井道。电梯按照商务楼建筑面积15至20平方米每人的标准来设计。第1层的楼层高为4.8米，其余层均为3.2米，设计电梯的平均运行速度1.6米/秒。我们的任务是：1建立一个合适的单轿箱客梯系统的运行方案，使尽可能地提高电梯系统的运行效率；2分别在运行的高峰期与非高峰期，对双轿

2、箱的电梯系统与单轿箱的电梯系统的运行效率等进行对比分析,评价两种方案的优劣性，估计双轿厢系统运行效率的提高率。二 基本假设1 电梯载客量为13人，且不超载。13人载客量是国内最常见的一种电梯规格，并且为了乘梯安全，电梯不应超载。2 电梯在每层停留的时间相等。在假设1成立的前提下，电梯乘客可以迅速有序地离开电梯，电梯停留时间受离开人数的影响可以忽略不计。3 乘客的到达形成泊松流。4 商务楼工作人员均匀分布在地上2层到28层的每一层，即电梯乘客在每一层下电梯的概率相等。5 在上班高峰期无人下电梯，在下班高峰期无人上电梯。6 使用每层地下停车楼的人数相等。三 符号及名词说明输入层： 有需要乘电梯的人

3、流入的楼层。目标层： 乘客想要到达的楼层。服务： 在上班高峰期电梯由输入层出发到载完13个人回到输入层称为一次服务。k=（p,q）T：第k个电梯或电梯井道的运行区间，即被限制只能从p层运行到q层。A =（1,2,3,4,5,6）：高峰期电梯系统运行的一种安排方案。bk：第k个电梯在无乘梯需求是停留的楼层。=（b1,b2,bm）T：m个电梯在非高峰期的一种运行方案，m=6或12。f（A）：安排方案A下乘客等待时间的期望。f（） ：安排方案下乘客等待时间的期望。W（k） ：乘坐第k个电梯的乘客等待时间的期望。，：乘客形成的泊松流的强度。t（p,q）：电梯从p层运行到q层所用的时间t0：电梯在每层停

4、留的时间。t（k） ：在高峰期第k个电梯完成一次服务所用的时间。1：使用地下停车楼的人数比例。2：不使用地下停车楼的人数比例。N（k） ：第k个电梯一次服务中所能运行到的最高层。P（n） ：在上班高峰期电梯在一次服务中停留n次的概率。四 问题分析本题是对电梯系统的优化问题，优化的标准就是找到一种方案A使所有乘客等待时间的期望f（A）最小。这里为了叙述方便，将地下1层、2层分别记为 -1层、-2层，地上1层、2层、28层分别记为0层、1层、27层。我们发现，不管是单轿厢电梯系统，还是双轿厢电梯系统，在上班高峰期，0层、-1层和-2层为输入层，1层至27层为目标层，在下班高峰期，1层至27层为输入

5、层，0层、-1层和-2层为目标层，也就是说，在高峰期，输入层和目标层分别有所集中；而在非高峰期，输入层和目标层都是随机分散的。所以，为了合理优化电梯系统的效率，应把这两种时期分开考虑。4.1高峰期的分析4.1.1上班高峰期的分析上班高峰期的输入层为0，-1，-2层，则电梯的初始位置只能集中分布在这三层。目标层越大，电梯需要上升的高度就越高，一次服务的时间就会越多。由于乘客想要到达的目标层是随机的，因而一次服务中只要有人的目标层较大，相应电梯的等待人群需要等待的时间就越多，而一些目标层较低的乘客同样需要等待这样的时间，可以理解为高目标层乘客占用了低目标层乘客的“资源”。这就造成了等待时间的增加。

6、所以我们提出一种电梯区间的思想，即在上班高峰期将每个电梯所能运行的范围加以限制，同时令目标层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样目标层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待的时间就会有所降低，而目标层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。在这种情况下，单轿厢电梯系统和双轿厢电梯系统的模型一致，考虑到这一过程符合排队过程的特点，可以将其简化为排队模型，并编程求得最优解。4.1.2下班高峰期的分析下班高峰期的输入层为1层至27层，目标层为0，-1，-2层，电梯的初始位置无法集中。输入层越高，电梯需要运行到很低的目标层再回到输入层，经过的楼层数越多，所用的时间也就越多。因而只要高输入层的乘客有乘

7、梯需求，那么低输入层的乘客就会大大增加，可以理解为高输入层乘客占用了低输入层乘客的“资源”。所以沿用4.1.1中的思想，利用电梯区间将下班高峰期电梯的运行范围加以限制，同时令输入层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样输入层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待时间就会有所降低，而输入层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。在这种情况下，单轿厢电梯系统每个输入层都符合排队过程的特点，可将其简化为排队模型；4.2非高峰期的分析非高峰期的输入层和目标层都是随机分散的，且人流量小，因而不同于高峰期的分析。对于每个单轿厢电梯和双轿厢电梯，其初始位置应在-2层至27层之间，在某一时刻，有人需乘电梯，则

8、他在1层至27层的概率相等，只需简化为安排6个单轿厢电梯或者12个双轿厢电梯的初始位置，使乘客等待电梯的时间期望尽可能小即可。这一模型可以通过编程完成。五 模型的建立与求解5.1 单轿厢电梯系统的求解5.1.1上班高峰期单轿厢电梯系统的求解对于上班高峰期，每个输入层都要有一个区间从本层到27层的电梯以保证乘客能到达任何目标层，则1=（0,27）T，3=（-1,27）T，5=（-2,27）T，同时令2=（0,q1）T，4=（-1,q2）T，6=（-2,q3）T。那么对于每个电梯及其乘客，都可以简化为如图模型【1】服务机构（服务时间随机）顾客排队顾客随机到达顾客离开其中电梯为“服务机构”，且服务时

9、间随机，乘客被送往目标层后可视为“顾客离开”，则这一模型与排队模型类似，但排队模型中服务机构是从等待的顾客中随机取其一进行服务【2】。为了使模型与排队模型相符，这里把13个乘客看作一个“乘客集合”，则“乘客集合”输入的泊松流强度为13，此时模型符合排队模型，且符合M/G/1排队【3】，可用排队论公式求解。对于输入层为0层的2，t（2）为电梯停留所用时间与电梯运行所用时间之和，电梯运行所用时间为2（2N（2） +1）=4N（2）+2，电梯停留所用时间为 nt0P（n），其中n1,min13,N（2），P（n）=Q13,nAq1nq113，Q（13,n）为把13个人分为n组的可能数。则t（2）=4

10、N（2） +2+ nt0Q13,nAq1nq113由排队论公式，乘第2个电梯的乘客等待时间的期望W（2）=2+2D（t（2）2（1-），（= E（t（2）且W（1）=W（2）（q1=27）。对于输入层为0层，当q1=0，乘坐2号电梯的概率为0，当q1=27，乘坐2号电梯的概率为1/2，假设次概率服从线性关系，则乘坐2号电梯的概率为q154，那么乘坐1、2号电梯的乘客等待时间的期望为W（1,2） =q154W（2）+（1-q154）W（1）=q1542（E2（t2）+D（t（2）2（1-2E（t（2）+（1-q154）1（E2（t1）+D（t（1）2（1-1E（t（1）同时，记为所有乘客到达的泊

11、松强度，则乘1、2号电梯乘客的泊松强度为1，故1、2号电梯“乘客集合”的泊松强度分别为1=（1-q154）113，2=q154113。为了解出模型，我们需要t0，和1三组参数。对于t0，我们实地做了实验，统计记录下了一组电梯停留时间的数据，如图所示：我们发现，数据大致都集中在一条平行于x轴的直线上，对数据求均值得t0=6.7s 。对于1，我们找到了一家与问题中商务楼规模类似的公司，调查得到开车上班的人所占比例为42.3%，这里认为1=42.3%，2=57.7%对于，我们同样是在这家公司大厅实地做了统计，得到30分钟内到达329人，这里认为= 0.183。取q1=1 , 2 27，得到W（1,2

12、）与q1的关系如图从图中可以看出，当q1=14时，W（1,2）最小，即（1,2）=002714时为最优方案。同样，对于输入层为-1层，有W（3,4）=q2544（E2（t4）+D（t（4）2（1-4E（t（4） +（1-q254）3（E2（t3）+D（t（3）2（1-3E（t（3）且t（4）=4N（4） +4+ nt0Q13,nAq2nq213，3=（1-q254）226，4=q254226，得到W（3,4）与q2的关系如图从图中可以看出，当q2=14时，W（3,4）最小，即（3,4）=-1-12714时为最优方案。对于输入层为-2层，有W（5,6）=q3546（E2（t6）+D（t（6）2（1-6E（t（6） +（1-q354）5（E2（t5）+D（t（5）2（1-5E（t（5）且t（6）=4N（6） +6+ nt0Q13,nAq3nq313，5=（1-q354）226，6=q354226，得到W（5,6）与q3的关系如图从图中可以看出，当q3=14时，W（5,6）最小，即（5,6）=-2-22714时为最优方案。于是我们得到，当A=00-1271427-1-2-2142714时，f（A）最小，为f（A）=1W（1,2