空间向量的运算及应用Word文件下载.docx

1、向量和ab（a1b1，a2b2，a3b3）向量差ab（a1b1，a2b2，a3b3）数量积aba1b1a2b2a3b3共线aba1b1，a2b2，a3b3（R，b0）垂直aba1b1a2b2a3b30夹角公式cosa，b3直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量（2）平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量4空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1kn2（kR）l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面

2、的法向量为mlnmnm0lnmnkm（kR）平面，的法向量分别为n，m1空间向量基本定理的3点注意（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底（2）由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量（3）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示2有关向量的数量积的2点提醒（1）若a，b，c（b0）为实数，则abbcac；但对于向量就不正确，即abbcac.（2）数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即（ab）c不一定等于a（bc）这是由于（ab）c表示一个与c共线的向量，而a（bc）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线3方

3、向向量和法向量均不为零向量且不唯一二、常用结论1证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：（1） （R）; （2）对空间任一点O，t （tR）；（3）对空间任一点O，xy （xy1）2证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：（1） xy；（2）对空间任一点O，xy；（3） （或或）3确定平面的法向量的方法（1）直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量（2）待定系数法：取平面内的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n（x，y，z），由解方程组求得考点一 空间向量的线性

4、运算 1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，AA1c，则下列向量中与相等的是（）Aabc B. abcCabc D. abc解析：选AAA1 （）c （ba）abc.2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1） ；（2） ；（3） .解：（1）P是C1D1的中点，aacabc.（2）N是BC的中点，abababc.（3）M是AA1的中点，aabc，又ac，abc.考点二 共线、共面向量定理的应用1若A（1,2,3），B（2,1,4），C

5、（m，n,1）三点共线，则mn_.（3，1,1），（m1，n2，2），且A，B，C三点共线，存在实数，使得.即（m1，n2，2）（3，1,1）（3，），解得2，m7，n4.mn3.答案：32已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 （）（1）判断，三个向量是否共面；（2）判断点M是否在平面ABC内（1）由已知3，所以（）（），即，所以，共面（2）由（1）知，共面且过同一点M.所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内3.如图所示，已知斜三棱柱ABC A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k （0k1）判断向量是否与向量，共面k，k，kkk（）k（）

6、kB1Akk（）（1k） k，由共面向量定理知向量与向量，共面考点三 空间向量数量积及应用典例精析 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：（1） ；（2） .解设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60（1）因为 （ADAB）ca，a，所以（a）a2ac.（）（）（ca）.题组训练如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120（1）求线段AC1的长；（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；（3）求证：AA1BD.（1）设a，b，c，则|a|

7、b|1，|c|2，ab0，cacb21cos 1201.abc，|abc|.线段AC1的长为.（2）设异面直线AC1与A1D所成的角为，则cos |cos，|.abc，bc，（abc）（bc）abacb2c20112222，|cos .故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.（3）证明：c，ba，c（ba）cbca（1）（1）0，即AA1BD.考点四 利用向量证明平行与垂直问题典例精析如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，过点E作EFPB于点F.求证：（1）PA平面EDB；（2）PB平面EFD. 证明以D为坐标原点，射线DA，D

8、C，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设DCa.（1）连接AC交BD于点G，连接EG.依题意得A（a,0,0），P（0,0，a），C（0，a,0），E.因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点故点G的坐标为，所以（a,0，a），则2，故PAEG.而EG平面EDB，PA平面EDB，所以PA平面EDB.（2）依题意得B（a，a,0），所以（a，a，a）又，故00，所以PBDE，所以PBDE.由题可知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.解题技法利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤（1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系（2）

9、建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素（3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系（4）根据运算结果解释相关问题提醒运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.（1）证明：APBC；（2）若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明：（1）以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴

10、正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O（0,0,0），A（0，3,0），B（4,2,0），C（4,2,0），P（0,0,4）于是（0,3,4），（8，0,0），（0,3,4）（8,0,0）0，所以，即APBC.（2）由（1）知AP5，又AM3，且点M在线段AP上，所以，又（4，5,0），所以，则0，所以，即APBM，又根据（1）的结论知APBC，且BCBMB，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.A级1已知a（2,1，3），b（1,2,3），c（7,6，），若a，b，c三向量共面，则（）A9 B9C3 D3选B由题意知cxayb，即（7,6

11、，）x（2,1，3）y（1,2,3），解得9.2若平面，的法向量分别为n1（2，3,5），n2（3,1，4），则（）A B.C，相交但不垂直 D以上均不正确选Cn1n22（3）（3）15（4）290，n1与n2不垂直，又n1，n2不共线，与相交但不垂直3在空间四边形ABCD中，（）A1 B.0C1 D不确定选B如图，令a，b，c，（cb）b（ac）c（ba）cabbabcca0.4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是（）Ax，y，z B.x，y，zCx，y