1、问题等价于求函数F(x)的零点个数.F(x),当m1时,F(x)0,函数F(x)为减函数,注意到F(1)0,F(4)ln 40,所以F(x)有唯一零点.当m1时,若0x1或xm,则F(x)0;若1xm,则F(x)0,所以函数F(x)在(0,1)和(m,)上单调递减,在(1,m)上单调递增,注意到F(1)m0,F(2m2)mln (2m2)0,综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.2.设函数f(x)ln x,mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数.解(1)由题设,当me时,f(x)ln x(x0),则f(x)当x
2、(0,e)时,f(x)0,f(x)在(e,)上单调递增,当xe时,f(x)取得极小值f(e)ln e2,f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)令g(x)0,得mx3x(x0).设(x)则(x)x21(x1)(x1),当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,)时,(x)时,函数g(x)无零点;当m时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m当m或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0时,函数g(x)有两个零点.3.已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时,求f(x)的图象在x1处的切线方程;(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点
3、,求实数m的取值范围.解(1)当a2时,f(x)2ln xx22x,f(x)2x2,切点坐标为(1,1),切线的斜率kf(1)2,所以切线方程为y12(x1),即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m,则g(x)2x因为x,当g(x)0时,x1.当x0;当1e时,g(x)0.所以g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2,g(e)m2e2,g(e)g4e20,则g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2,所以实数m的取值范围是4.(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点
4、,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(,),f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0,则f(x)0,则由f(x)0,得xln a.当x(,ln a)时,f(x)所以f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增.(2)(i)若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.0,由(1)知,当xln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)1ln a.当a1时,由于f(ln a)0,故f(x)只有一个零点;当a(1,)时,由于1ln a即f(ln a)0,故f(x)没有零点;当a(0,1)时,1ln a0,即f(ln a)2e22故f(x)
5、在(,ln a)上有一个零点.设正整数n0满足n0ln则f(n0)(aa2)n0n0由于lnln a,因此f(x)在(ln a,)上有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).考点二导数与不等式导数与不等式问题相结合有两个方面:一是由不等式恒成立(或有解)求解参数取值范围;二是证明不等式或与自然数有关的不等式.解决这两类问题的核心是“函数的最值”.5.(2017保定模拟)已知函数f(x)ex2x.(1)求函数f(x)的极值;(2)当a2ln 4且x0时,试比较f(x)与x2(a2)x1的大小.解(1)f(x)ex2,令f(x)0,得xln 2,令f(x)0,得xln 2,f(x)在(,ln 2
6、)上单调递减,在(ln 2,)上单调递增,当xln 2时,f(x)有极小值f(ln 2)22ln 2,无极大值.(2)令g(x)f(x)x2(a2)x1exx2ax1,g(x)ex2xaf(x)a,g(x)minf(x)mina22ln 2a.a2ln 4,g(x)0,g(x)在(0,)上单调递增,g(x)g(0)0,即f(x)x2(a2)x1.6.已知函数f(x)ln xx3.(2)证明:在(1,)上,f(x)2(3)证明: (n2,nN*).(1)解f(x)令f(x)0,得x(1,);令f(x)f(1).即f(x)2,所以f(x)2(3)证明由(1)可知,当x(1,)时,f(x)f(1),
7、即ln xx1所以0ln xx1对一切x(1,)恒成立.因为n2,nN*,则有0ln nn1,所以(n2,nN*).7.已知函数f(x)x(a1)ln x(aR),g(x)x2exxex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值;(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x22,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)若a1,当x1,e时,f(x)0,则f(x)在1,e上为增函数,f(x)minf(1)1a.若1ae,当x1,a时,f(x)0,f(x)为减函数;当xa,e时,f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)minf(a)a(a1
8、)ln a1.若ae,当x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为减函数,f(x)minf(e)e(a1)综上,当a1时,f(x)min1a;当1ae时,f(x)mina(a1)ln a1;当ae时,f(x)mine(a1)(2)由题意知,f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值.由(1)知,f(x)在e,e2上单调递增,g(x)(1ex)x.当x2,0时,g(x)0,g(x)为减函数,g(x)ming(0)1,所以e(a1)1,即a,所以a的取值范围为8.已知函数f(x)aln xx2(1a)x.(2)若f(x)0对定义域的任意x恒成立,求实数a的取值范围;对于任意正
9、整数m,n,不等式恒成立.x(1a),x(0,).当a0时,若0x1,则f(x)0,若x1,则f(x)0,故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,);当0a1时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,a)a(a,1)1(1,)f(x)f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,),单调递减区间是(a,1);当a1时,f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,);当a1时,同0a1时的解法,可得函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,),单调递减区间是(1,a).(2)解由于f(1)a,显然当a0时,f(1)0,此时f(x)0对定义域内的任意x不是恒成立的.当a0时,由(1)可知,函数f(x)在区间(0,)上的最小值为f(1)a,此时只要f(1)0即可,即a0,解得a故实数a的取值范围是(3)证明当a时,f(x)
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