高考数学二轮复习第三篇攻坚克难压轴大题多得分第32练导数的综合应用练习文文档格式.docx

1、问题等价于求函数F（x）的零点个数.F（x），当m1时，F（x）0，函数F（x）为减函数，注意到F（1）0，F（4）ln 40，所以F（x）有唯一零点.当m1时，若0x1或xm，则F（x）0；若1xm，则F（x）0，所以函数F（x）在（0，1）和（m，）上单调递减，在（1，m）上单调递增，注意到F（1）m0，F（2m2）mln （2m2）0，综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.2.设函数f（x）ln x，mR.（1）当me（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（2）讨论函数g（x）f（x）零点的个数.解（1）由题设，当me时，f（x）ln x（x0），则f（x）当x

2、（0，e）时，f（x）0，f（x）在（e，）上单调递增，当xe时，f（x）取得极小值f（e）ln e2，f（x）的极小值为2.（2）由题设g（x）f（x）令g（x）0，得mx3x（x0）.设（x）则（x）x21（x1）（x1），当x（0，1）时，（x）0，（x）在（0，1）上单调递增；当x（1，）时，（x）时，函数g（x）无零点；当m时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m当m或m0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0时，函数g（x）有两个零点.3.已知函数f（x）2ln xx2ax（aR）.（1）当a2时，求f（x）的图象在x1处的切线方程；（2）若函数g（x）f（x）axm在上有两个零点

3、，求实数m的取值范围.解（1）当a2时，f（x）2ln xx22x，f（x）2x2，切点坐标为（1，1），切线的斜率kf（1）2，所以切线方程为y12（x1），即2xy10.（2）g（x）2ln xx2m，则g（x）2x因为x，当g（x）0时，x1.当x0；当1e时，g（x）0.所以g（x）在x1处取得极大值g（1）m1.又gm2，g（e）m2e2，g（e）g4e20，则g（e）g，所以g（x）在上的最小值是g（e）.g（x）在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是4.（2017全国）已知函数f（x）ae2x（a2）exx.（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点

4、，求a的取值范围.解（1）f（x）的定义域为（，），f（x）2ae2x（a2）ex1（aex1）（2ex1）.（i）若a0，则f（x）0，则由f（x）0，得xln a.当x（，ln a）时，f（x）所以f（x）在（，ln a）上单调递减，在（ln a，）上单调递增.（2）（i）若a0，由（1）知，f（x）至多有一个零点.0，由（1）知，当xln a时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln a）1ln a.当a1时，由于f（ln a）0，故f（x）只有一个零点；当a（1，）时，由于1ln a即f（ln a）0，故f（x）没有零点；当a（0，1）时，1ln a0，即f（ln a）2e22故f（x）

5、在（，ln a）上有一个零点.设正整数n0满足n0ln则f（n0）（aa2）n0n0由于lnln a，因此f（x）在（ln a，）上有一个零点.综上，a的取值范围为（0，1）.考点二导数与不等式导数与不等式问题相结合有两个方面：一是由不等式恒成立（或有解）求解参数取值范围；二是证明不等式或与自然数有关的不等式.解决这两类问题的核心是“函数的最值”.5.（2017保定模拟）已知函数f（x）ex2x.（1）求函数f（x）的极值；（2）当a2ln 4且x0时，试比较f（x）与x2（a2）x1的大小.解（1）f（x）ex2，令f（x）0，得xln 2，令f（x）0，得xln 2，f（x）在（，ln 2

6、）上单调递减，在（ln 2，）上单调递增，当xln 2时，f（x）有极小值f（ln 2）22ln 2，无极大值.（2）令g（x）f（x）x2（a2）x1exx2ax1，g（x）ex2xaf（x）a，g（x）minf（x）mina22ln 2a.a2ln 4，g（x）0，g（x）在（0，）上单调递增，g（x）g（0）0，即f（x）x2（a2）x1.6.已知函数f（x）ln xx3.（2）证明：在（1，）上，f（x）2（3）证明： （n2，nN*）.（1）解f（x）令f（x）0，得x（1，）；令f（x）f（1）.即f（x）2，所以f（x）2（3）证明由（1）可知，当x（1，）时，f（x）f（1），

7、即ln xx1所以0ln xx1对一切x（1，）恒成立.因为n2，nN*，则有0ln nn1，所以（n2，nN*）.7.已知函数f（x）x（a1）ln x（aR），g（x）x2exxex.（1）当x1，e时，求f（x）的最小值；（2）当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，求a的取值范围.解（1）f（x）的定义域为（0，），f（x）若a1，当x1，e时，f（x）0，则f（x）在1，e上为增函数，f（x）minf（1）1a.若1ae，当x1，a时，f（x）0，f（x）为减函数；当xa，e时，f（x）0，f（x）为增函数.所以f（x）minf（a）a（a1

8、）ln a1.若ae，当x1，e时，f（x）0，f（x）在1，e上为减函数，f（x）minf（e）e（a1）综上，当a1时，f（x）min1a；当1ae时，f（x）mina（a1）ln a1；当ae时，f（x）mine（a1）（2）由题意知，f（x）（xe，e2）的最小值小于g（x）（x2，0）的最小值.由（1）知，f（x）在e，e2上单调递增，g（x）（1ex）x.当x2，0时，g（x）0，g（x）为减函数，g（x）ming（0）1，所以e（a1）1，即a，所以a的取值范围为8.已知函数f（x）aln xx2（1a）x.（2）若f（x）0对定义域的任意x恒成立，求实数a的取值范围；对于任意正

9、整数m，n，不等式恒成立.x（1a），x（0，）.当a0时，若0x1，则f（x）0，若x1，则f（x）0，故此时函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，）；当0a1时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，a）a（a，1）1（1，）f（x）f（x）极大值极小值所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，），单调递减区间是（a，1）；当a1时，f（x）0，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，）；当a1时，同0a1时的解法，可得函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，），单调递减区间是（1，a）.（2）解由于f（1）a，显然当a0时，f（1）0，此时f（x）0对定义域内的任意x不是恒成立的.当a0时，由（1）可知，函数f（x）在区间（0，）上的最小值为f（1）a，此时只要f（1）0即可，即a0，解得a故实数a的取值范围是（3）证明当a时，f（x）