1、考虑如下线性方程组:1) 第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端,第一个方程的两端乘加到第三个方程的两端,得)第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端,得3) 从上述方程组的第三个方程依此求解,得)高斯消去法的不足及其改进高斯(全、列)主元素消去法在上例中,由于建模、计算等原因,系数2.001而产生0.0005的误差,实际求解的方程组为注:数值稳定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取(列)主元素一列中绝对值最大的元取做主元素,高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。列主元素消去法的基本思想:在每轮消元之前,选列主元素(绝对值最大的元素),使乘数.列主元素消去法的步骤:设已经完成第1步到第步
2、的按列选主元、交换两行、消元计算,得到矩阵.第步计算如下:对于,(1) 选列主元素,即确定使;(2) 如果,则方程组解不唯一,或者接近奇异矩阵,停止运算;(3) 如果,则交换第行与第行元素;(4) 消元计算:(5) 回代计算:完全主元素消去法即是每次选主元时,依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素,然后交换两行、两列,再进行消元计算.完全主元素消去法的步骤:设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算,得到矩阵第步计算选主元素的范围为,即确定使.(1) 选主元素,即确定使;如果,则交换第列与第列元素;(5) 回代求解.【注】 完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法,但完全主
3、元消去法解方程组,在选主元素时要化费较多的计算机时间,行主元消去法与列主元消去法运算量大体相同,实际计算时,用列主元消去法即可满足一定的精度要求.对同一数值问题,用不同的计算方法,所得结果的精度大不一样.对于一个算法来说,如果计算过程中舍入误差能得到控制,对计算结果影响较小,则称此算法是数值稳定的;否则,如果计算过程中舍入误差增长迅速,计算结果受舍入误差影响较大,则称此算法为数值不稳定的.因此,我们解数值问题时,应选择和使用数值稳定的算法,否则如果使用数值不稳定的算法,就可能导致计算失败.)高斯列主元素消去法的MATLAB实现:,意为例 LinearEquiation02.mopen Line
4、arEquiation02 LinearEquiation02 一个典型的例子: Hilbert矩阵: 注: 非奇异矩阵的条件数:)分解(Factorization)(高斯消去法、Doolittle分解)高斯消去法的消元过程,从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵,且乘积的结果为上三角矩阵,即 ()可通过直接用A元素计算矩阵A的三角分解矩阵L和U.这种直接计算A的三角分解的方法有实用上的好处.下面利用矩阵乘法规则来确定三角矩阵L和U.第一步:利用A的第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素.由矩阵乘法,得到,. (3.7)设已经计算出U的第1至r -1行元素,L的第
5、1至r -1列元素,现在要计算U的第r行元素及L的第r列元素.第r步:利用A的第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素.由矩阵乘法,有得U的第r行元素为. (3.8)由得. (3.9)例5 用LU分解法求解方程组解 对系数矩阵A进行LU分解,由,有.,.因此解方程组,得.6) LU 分解的MATLAB实现:或例 A=rand(5);L,U,P=lu(A)L,U,P=lu(A)L=PL 当是主对角占优的三对角矩阵时,基于Doolittle分解可得到解这类方程组的追赶法。、Cholesky分解 (Cholesky Factorization)对称正定矩阵的Cholesky分解和以为系
6、数矩阵地的线性方程组的改进的平方根法:设阶方程组,是对称正定矩阵(Positive Definite Matrix),则有三角分解再将分解为,则.(1) 对称正定矩阵有唯一的分解这是由于,且对称阵,则有再利用三角分解的唯一性,得.因此,对称正定矩阵有唯一的分解.(2)是正定对角阵(即)由于对称正定的充要条件是对称正定,其中是阶可逆方阵.取,就推知是正定对角阵.因此的对角元素,记,其中(3) 乔莱斯基(Cholesky)分解将记为,则称为Cholesky分解.利用Cholesky直接分解公式,推导出的解方程组方法,称为Cholesky方法或平方根法.(4) 解方程组的平方根法(Cholesky方
7、法)由Cholesky分解,有. (3.10)利用矩阵乘法,逐步确定的第行元素.由(当时,),有分解公式:对于 (3.11)将对称正定矩阵作Cholesky分解后,则解方程组就转化为解两个三角方程组.例7 用Cholesky方法解方程组解 对系数矩阵作Cholesky分解得到解,得.cholesky分解的MATLAB的实现:L=chol(A)。3、追赶法在许多实际问题中,如,常微分方程两点边值问题、三次样条插值方法等,往往遇到线性方程组的求解,其中. (3.13)称具有公式(3.13)形式的系数矩阵为三对角阵,称相应的线性方程组为三对角方程组(Tridiagonal Linear System
8、s).具有这种形式的方程组在实际问题中是经常遇到的,而且往往是对角占优(Diagonally Dominant)的.满足条件:这类方程组的解存在唯一(非奇异),可以直接利用高斯消去法或直接分解法,而其解答可以用极其简单的递推公式表示出来,即下面介绍的追赶法.追赶法通常是数值稳定的.对作LU分解(Doolitle分解),可以发现L、U具有非常简单的形式.由矩阵乘积,得比较等式两端,得到 (3.14)因为上述分解,则方程组的求解转化为解两个简单的三角方程组和,从而得到求解方程组的算法公式.先解,即. (3.15)再解,即. (3.16)这种把三对角方程组的解用递推公式(3.14)、(3.15)、(
9、3.16)表示出来的方法形象化地叫做追赶法,其中(3.14)、(3.15)是关于下标由小到大的递推公式称为追的过程,而(16)却是下标由大到小的递推公式称为赶的过程,一追一赶构成了求解的追赶法.例9 用追赶法解三对角方程组解 系数矩阵分解得到调用函数LU_Factorization.m解例9.输入 A=4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4;b=1;3;2;x,L,U,index=LU_Factorization(A,b)得到方程组的解及相应的LU分解矩阵:x = 0.5179 L= 1.0000 0 0 U= 4.0000 -1.0000 0 1.0714 -0.2500 1.0000
10、0 0 3.7500 -1.0000 0.7679 0 -0.2667 1.0000 0 0 3.7333为了对线性方程组的直接法作出误差分析,为了讨论方程组迭代法的收敛性,需要对向量和矩阵的大小进行度量,进而引入了范数用于度量“量”的大小的概念1、 引言实数的绝对值:是数轴上的点到原点的距离;复数的模:是平面上的点到原点的距离;还有其他刻画复数大小的方法(准则):如);)向量的内积、范数及维空间距离的度量令是一数域,是上的向量空间,如果函数有如下性质:、共轭对称性:,;、非负性:,;、线性性:,;则称是上的一个向量内积(inner product),向量空间上的向量内积通常用符号表示,定义了
11、内积的向量空间称为内积空间(inner product space)。记做表示。例,容易验证函数()定义了上的一个内积。、非负性:、齐次性:、三角不等式:则称是上的一个向量范数(norm),向量空间上的范数通常用符号表示。定义了范数的向量空间称为赋范空间(normed space)。例,容易验证函数 ()定义了上的一个范数,这样定义的范数称为由内积()诱导的范数。例上常用的向量范数:、范数:、范数:、范数:令是一数域,是上的向量空间,如果实值函数有如下性质:、对称性:, , ;则称是上的一个距离(函数)(distance function)或度量(metric),定义了度量的向量空间称为度量空
12、间(metric space),记做表示。例4上常用的(由范数诱导的)度量: ,、范数诱导的度量:、范数诱导的度量:、范数诱导的度量:矩阵的范数矩阵是线性映射(当时为线性变换)的一种表现形式。因此,除了可以把矩阵看做向量而定义其范数外,更为基本、更为重要的是表征其线性映射的算子范数(operator norm),以的情况为例:()其中()右端的范数是赋范空间中向量的范数,由矩阵算子范数的定义()容易证明(对映像大小的估计)不等式:, ()称满足不等式()的矩阵范数是与对应的向量范数相容的。例常用的矩阵范数:、范数(列范数): ;、范数(谱范数):、范数(行范数):上述三种范数是如下定义的矩阵范数的特例:、由向量的范数:,定义:()、范数(Frobenius):
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