线代课后题答案Word文件下载.docx

1、3、四、一、证明 方式一:是的多项式,那么在0，1上持续,在（0，1）内可导,且 由Rolle定理,知存在,使得. 方式二:,得,即有小于1的正根.二、证明：三条直线交于一点，即线性方程组有唯一解，设为。将方程组改写成，那么这三元齐次线性方程组有非零解为，有克拉默的推论：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。由此可得这三条直线交于一点的充分必要条件为又因是三条不同的直线，因此可不能成立，因此。第二章练习一矩阵的概念及其运算1、10， 2、，3、（1） （2） 4、 、 5、（1）（2） 六、（1），（2）7、 （1）, ,则 （2）由，故（3） 同理8、证明由已知：充分性：,即是

2、对称矩阵.必要性：.第二章练习二 矩阵的运算和逆矩阵1、-32 2、 3、 4、5、证明：因，因此 ,从而是对称矩阵.6、由由可逆,故有7、由八、解：将矩阵分块 而 因此9、证明由有，即 故10、, 故存在,故第二章练习三 矩阵的初等变换一、二、（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）原式，（8）3、解 因为 = 且 因此 =阶梯形矩阵。确实是A的行简化阶梯形矩阵。五、A6、解（1） 故逆矩阵为第二章练习四 矩阵方程与矩阵的秩1、， 二、10 3、24、解：（1） ， （2） 二阶子式5、6、A=因此（1）当时R（A）=3;（2） 当时R（A）=2.7、，八、|A|=，当当时,当

3、时第二章 小结与练习一、64 、3二、8 二、 3、 4、， 五、 六、， 7、D 8、B 9、C10、解 并项： 左乘A： ，计算：故：11、，故, 12、（提示：因AB=，因此）13、证明：14、证明：（1）用反证法证明假设,得可逆又由得这与矛盾，故当时,有（2）由于, 则,取行列式取得:若 那么；若由（1）知现在命题也成立故有第二章 矩阵自我检查题一、DCCCB二、-64，-3， ，O，一、由，得 （1）又，因此可逆，且因此由（1）得二、因为因此当n为偶数时，有当n为奇数时，有3、因P可逆，因此由，得因为4、附：咱们有如此一个结论，A为n（）阶矩阵，那么.解：依题意，有，那么因此或。当时

4、，因此，舍去当时，因此，成立。一、证明：二、假设由，在两边左乘矩阵A，得，令，由，观看（乘积后的表达式）矩阵的对角元素，有 ，其中因此有，即与题意“为阶非零矩阵”矛盾。故.第三章 练习一 消元法1、X=（7，-5，7，15）T 二、1，. 3、404、（A） 5、（D） 6、（D）7、（1） （2）8、（1） （2）第三章 练习二 向量组的线性相关性1、k3且k-2；k=3或k=-2 2、，3、因，因此线性相关；因此线性无关4、证明提示：设有，即有当时线性无关，故向量组线性相关。5、设有，使得，即，因线性无关，因此，要使得线性无关，上述方程只有零解，即，故当时线性无关第三章 练习三 向量组的秩

5、一、（1）（ ） （2）（ ） 2（C） 3、（A） 4、a= 20 ,b= 5 五、 1 六、该向量组的秩为2和一个极大线性无关组，。7、时，秩为2，时，秩为3.8、假设可由线性表示，那么a=4，当a=4时，因，因此这两个向量组不等价。第三章 练习四 线性方程组解的结构1、（C） 2、 3、4.4、时有解，其通解。6、（ 略 ）第三章 小结练习一、（D） 2、（B） 3、 4、，五、秩为 2 ，极大无关组为 6、基础解系为 7、 2 . 八、（B） 9、极大无关组，表示为，。10、（略）11、证明：设有，那么，事实上，假设，那么有，与不能由线性表示矛盾，同理可得，从而得，因向量组不含零向量，

6、因此，即得向量组线性无关。12、m为奇数时，的线性无关，m为偶数时，的线性相关。13、（1）当时方程组有唯一解. 当=3时方程组有无穷多个解.（2）当方程组有无穷多个解时，其全数解。14（1）、基础解系：,通解：（2）基础解系，通解X=+k，（） （3）基础解系,通解X=+15、 16、，第三章线性方程组自我检查题一、，3，3，二、C，B，C，B，B一、解对系数矩阵实施初等行变换得齐次线性方程组的基础解系二、解对增广矩阵实施初等行变换可得，故非齐次线性方程组无解。因为可由线性表示因此，故，当时，因此向量组不能由向量组线性表示,符合题意。综上，4、（1）因为是该方程组的一个解，代入方程组可得因此

7、该线性方程组的增广矩阵为当即时，得非齐次线性方程组的通解为（为任意常数），而且对应的齐次线性方程组的通解为（为任意常数）。可得非齐次线性方程组的通解为（c为任意常数），（c为任意常数）。（2）因为是该方程组的一个解，代入方程组可得得非齐次线性方程组的唯一解为故当时，线性无关。六、因为因此（1）当时，不能由线性表示；（2）当且时，能由线性表示。由，得（3）当时，能由线性表示，但不唯一。可写得，或因为为互不相等的常数，即，因此线性无关。由知，故线性相关从n维向量组中取n个向量，（1）假设向量不取，显然结论成立。（2）假设必然有取向量，其它再取向量因为，因此则个向量都线性无关综上中任意个向量都线性无

8、关3、（1）证明：假设线性相关，那么，.（1）因为，为非齐次线性方程组的两个不同解，因此。由（1）式可得，左乘矩阵A，得，即，得，矛盾因此向量组，线性无关。（2）证明：假设向量组，线性无关，那么也线性无关（不然向量组，线性相关，与假设矛盾，因为）。 因为，为非齐次线性方程组的两个不同解，因此为对应的齐次线性方程组的一个非零解。又为对应的齐次线性方程组的一个非零解，因此为齐次线性方程组的两个线性无关的解向量。但因，因此齐次线性方程组的基础解系只包括 个线性无关的解向量，那么假设与题意矛盾。故向量组，线性相关.第四章 练习一 向量的内积1、（1）（4）（5）（6）（7）表示向量，（2）（8）表示数

9、，（3）没成心义。 2 23、（1） ，（2） =，=6，（3） （4） 单位化为，单位化4、齐次线性方程组基础解系中的单位向量即为所求的 5、（1）不是，因为第一列与第二列不正交，（2）是，因为每一列都是正交向量且两两正交（方式不唯一）6、因，因此AB也是正交矩阵7、提示：要，只要能证明|E+A|=0，即证明1是A的特点根即可。第四章 练习二方阵的特点值与特点向量一、1. 0 2.、 3、4二. 三. 四. 2, 6 4 五、（1）；当时,对应的特点向量为，当时,对应的特点向量为， （2）第四章 练习三相似矩阵及对角化一、1. 2 , 2. n！ 3、 4 , 3三.1.（1）不能对角化（2）,令有四.析:先对角化A,即求可逆阵P使得,再由即得,得对应的特点向量有令,有五.六、.解:令A的对应特点值为6的特点向量为,那么有七、 且 八、由九、1.2.3.证明:设A与B的特点值为,由A,B是实对称矩阵,故存在可逆矩阵第四章 练习四二次型1.（1） 2. ， 3、 2 4、C5.（1）,使得六、; ,使得7. 第四章 小结练习一、1 D 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7 1, ; 6,3,2; 6,11,18; 1188 8。 9. 4,-2,-1, 10、11. 故,令又由12，解：设A显然A的特点值为,设对应的特点向量为令则