1、二、二次函数的图象和性质:1、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是一条 ,其顶点坐标为 对称轴是 2、在抛物y=ax 2+bx+c(a0)中:当a0时,开口向 ,当x-时,y随x的增大而 ,当x 时,y随x的增大而增大;当a0时,开口向 当x-时,y随x增大而增大,当x 时,y随x增大而减小. 注意如下图几个特殊形式的抛物线的特点,分别写出它们的表达式:(1) , , , (4) . 三、二次函数的三种表达式1.一般式: (a,b,c为常数,a0)2.顶点式: (a0,a、h、k为常数),它直接显示二次函数的顶点坐标是 .3.两根式: (a0,a、为常数),其中、是图象与x轴交点的横坐
2、标.4.三种表达式之间的关系: 顶点式 一般式两根式四、二次函数图象的平移 二次函数的平移问题本质可看作是顶点问题的平移,要掌握抛物线的平移,只要找准顶点平移即可.五、二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系:a:开口方向 :向上则a 0,向下则a 0 a越大,开口越 b:对称轴位置,与a、b联系,用 ;判断b=0时,对称轴是 c:与y轴的交点:交点在y轴正半轴上,则c 0;负半轴上则c 0;当c=0时,抛物过 点d:特殊值判断:在抛物线y= ax2+bx+c中,当x=1时,y= ;当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号.六、二次函数与一元二次
3、方程、不等式的关系二次函数yax2bxc与x轴交点交点的 是一元二次方程ax2bxc0的解二次函数图象与x轴交点个数b24ac0二次函数图象与x轴有_个交点b24ac0b24ac0二次函数图象与x轴_交点二次函数图象与不等式利用图象求不等式ax2bxc0或ax2bxc0的解集.【合作探究】考点一:二次函数的定义应用例1、设是二次函数,且图像抛物线的开口向下,则m=_.考点二、二次函数的图象及性质例2、对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是()A图象的开口向下 B当x1时,y随x的增大而减小 C当x1时,y随x的增大而减小 D图象的对称轴是直线x=-1 例3、已知二次函数y=a
4、(x-2)2+c(a0),当自变量x分别取、3、0时,对应的函数值分别:y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()Ay3y2y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y1y2 例4、对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:它的图象与x轴有两个公共点; 如果当x1时y随x的增大而减小,则m=1;如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3其中正确的说法是 (把你认为正确说法的序号都填上)考点三:图象平移(左加右减,上加下减)例5.在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先
5、向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是()来源:学_科_网Z_X_X_KA(-2,3) B(-1,4) C(1,4) D(4,3)例6.把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是 例7.若a+b+c=0,a0,把抛物线y= ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.考点四、二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系:例8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0)对于
6、下列命题:b-2a=0;abc0;a-2b+4c0;8a+c0其中正确的有() A3个 B2个 C1个 D0个例9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根,有下列结论:b24ac0;m2其中,正确结论的个数是()A 0 B1C2 D3例10.如图,是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象的一部分,给出下列命题:a+b+c=0;b2a;ax2+bx+c=0的两根分别为3和1;a2b+c0其中正确的命题是 (只要求填写正确命题的序号)考点五:二次函数与一元二次方程的关系;会用待定系数法求二次函数的解析式例11.已知函数y(k
7、3)x22x1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()Ak4 Bk4 Ck4且k3Dk4且k3例12.把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180后得到的图象的解析式为 例13.根据下列条件,求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;(3)、图象经过(0,0), (12,0) ,且最高点的纵坐标是3 。考点六:二次函数、一次函数、反比例函数的图像综合应用及图象交点的意义例14直线y3 x1与yxk 的交点在第四象限,则k 的范围是( )(A)k (B)k1 (C)k1 (D)k1或k1例1
8、5.已知函数y=(xm)(xn)(其中mn)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是()ABCD例16.已知函数y1x2与函数y2x3的图象大致如图, 若y1y2,则自变量x的取值范围是( )Ax2 Bx2或x C2x D.x2或x考点七:二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值;例17.在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示:(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按
9、照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润解:(1)y是x的一次函数,设y=kx+b,图象过点(10,300),(12,240),y=30x+600,当x=14时,y=180;当x=16时,y=120,即点(14,180),(16,120)均在函数y=30x+600图象上y与x之间的函数关系式为 y=-30x+600;(2)w=(x6)(30x+600)=30x2+780x3600,即w与x之间的函数关系式为 w=-30x2+780x-3600(x
10、);(3)由题意得:6(30x+600)900,解得x15w=30x2+780x3600图象对称轴为:x=13a=300,抛物线开口向下,当x15时,w随x增大而减小,当x=15时,w最大=1350,即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元考点八:二次函数与平面图形(等腰三角形、直角三角形、平行四边形)、相似等知识的综合应用例18.如图,直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x2)2+k经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P(1)求a,k的值;(2) 抛物线的对称轴上有一点Q,使ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;(3) 在抛物线及其
11、对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,在RtBQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3m)2,AQ=BQ,1+m2=4+(3m)2,m=2,Q点的坐标为(2,2);(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线又对称轴x=2是AC的中垂线,M点与顶点P(2,1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,其坐标为(2,1)此时,MF=NF=AF=CF=1,且ACMN,四边形AMCN为正方形在RtAFN中,AN=,即正方形的边长为【测评】1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(1,2),与x轴的一个交点A在点(3,0)和(2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:b24ac0;a+b+c0;ca=2;方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根其中正确结论有 2.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a2b+c的值为3.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,
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