大数据包络分析报告DEA方法Word文件下载.docx

1、2.生产可能集设某个DMU在一项经济（生产）活动中有m项投入，写成向量形式为；产出有s项，写成向量形式为。于是我们可以用来表示这个DMU的整个生产活动。定义1.称集合为所有可能的生产活动构成的生产可能集。在使用DEA方法时，一般假设生产可能集T满足下面四条公理:公理1（平凡公理）: 。公理2（凸性公理）:集合T为凸集。如果, 且存在满足如此。公理3（无效性公理）：假如,如此。，公理4 （锥性公理）:集合T为锥。如果那么对任意的。假如生产可能集是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最小者，如此T有如下的唯一表示形式。3.技术有效与规模收益（1）技术有效：对于任意的，假如不存在，且，如此称为技术有

2、效的生产活动。（2）规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值称为规模效益。假如，说明规模收益递增，这时可以考虑增大投入；假如，说明规模收益递减，这时可以考虑减小投入；假如，说明规模收益不变，且称为规模有效。一 DEA方法原理与CCR模型DEA方法的根本原理是：设有n个决策单元，它们的投入，产出向量分别为：，。由于在生产过程中各种投入和产出的地位与作用各不一样，因此，要对DMU进展评价，必须对它的投入和产出进展“综合，即把它们看作只有一个投入总体和一个产出总体的生产过程，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。假设投入、产出的权向量分别为和，从而就可以获得如下的定义。定义2. 称为第个决策单元的

3、效率评价指数。根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得。如果想了解某个决策单元，假设为在这n个决策单元中相对是不是“最优的，可以考察当和尽可能地变化时，的最大值终究为多少? 为了测得的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CCR（三位作者名字首字母缩写）模型：（1）利用Charnes和Cooper （1962）4提出的分式规划的Charnes-Cooper变换:,变换后我们可以得到如下的线性规划模型： （2）根据线性规划的相关根本理论，可知模型（2）的对偶问题表达形式： （3）上述的模型是基于所有决策单元中“最优的决策单元作为参照对象，从而求得的相对效率都是小于等于1的。模型（2）

4、或者（3）将被求解n次，每次即得一个决策单元的相对效率。模型（3）的经济含义是：为了评价的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进展比拟。模型（3）的第一和第二个约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出。从而，模型（3）意味着，如果所求出的效率最优值小于1，如此明确可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于该单元的产出，即明确被评价的决策单元为非DEA有效。而当效率值为1时，决策单元为DEA有效。有关DEA有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱DEA有效与DEA有效两类。即通过考察如下模型中的与的值来判别。（4）其中为非阿基米德无穷小量。根据上

5、述模型给出被评价决策单元有效性的定义：定义3.假如模型（4）的最优解满足，如此称为弱DEA有效。定义4.假如模型（4）的最优解满足，且有，成立，如此称为DEA有效。定义5.假如模型（4）的最优解满足，如此称为非DEA有效。对于非DEA有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改良为有效决策单元：保持产出不变，减少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出。CCR模型容许DMU在减小投入的同时也增加产出。对于CCR模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面，从而投影所得的点投入产出组合即为DEA有效。上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有效应改善的数值，设

6、投入的变化量为，产出的变化量为：二 BCC模型CCR 模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产出量应以等比增加。然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。为了分析决策单元的规模报酬变化情况，Banker, Charnes与Cooper以生产可能集的四个公理以与Shepard距离函数为根底在1984年提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为BCC的模型5。线性形式的BCC模型可表示为： （5）含松弛变量形式的BCC对偶模型（6）根据BCC模型中的的取值大小，Banker和Thrall（1992）6提出如下判别方法来判断模型（5）的规模收益。定理1

7、6. 假设含有投入产出组合的是有效的，那么下面的条件可以判别模型（1）之下的规模收益：（i） 对于投入产出组合规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有；（ii） 对于投入产出组合规模收益递增当且仅当在所有最优解情况下都有；（iii） 对于投入产出组合规模收益递减当且仅当在所有最优解情况下都有。其中代表模型（5）中的最优解。该定理的证明参见文献6。CCR模型或者BCC模型计算出来的效率可能存在多个效率值为1的情形，为了进一步区分这些有效决策单元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以与双前沿数据包络分析模型。下面依次做个简单介绍。三超效率模型CCR 模型在计算效率值时，经常会出现多个有效的决策单

8、元（效率值为1）的情形，从而使得有效决策单元之间无法进展比拟分析。Andersen 和 Petersen （1993）7为了实现决策单元的完全排序，将被评价的决策单元从效率边界中剔除，以剩余的决策单元为根底，形成新的效率边界，计算剔除的决策单元到新的效率边界的距离。由于剔除的决策单元不被效率边界所包围，对于有效的决策单元而言，其计算出来的新效率值就会大于1，而对于无效的决策单元而言，其所得的效率值不变，仍小于1，从而使得全体决策单元可以实现完全排序。由于有效的决策单元效率大于1，从而就有了超效率（Super-efficiency） 的概念。基于CCR模型的超效率DEA模型为：（7）Banker

9、和Chang（2006）8证实了超效率极易受离群值的影响，因此该方法可以用来检测数据集中是否存在离群值。四交叉效率模型为了解决DEA有效决策单元的排序和比拟问题，Sexton等人（1986）9提出了交叉效率评价的概念。所谓交叉效率评价就是每个DMU分别确定一组输入输出权重，供所有的DMUs评价使用，其中：用DMU自身确定的权重评价自己的效率，称为自我评价效率；用其它DMU确定的权重评价自己的效率，称为交叉效率或同行评价效率。以表51为例，交叉效率评价的实质是对每个DMU同时进展自评和同行评价，这样不仅考虑DMU自评的最好相对效率，而且还考虑了DMU同行评价给出的交叉效率，利用自我评价和交叉效率

10、的平均值作为衡量DMU绩效的综合指标，该指标不仅较好地解决了DMUs间排序和比拟问题，而且解决了CCR模型由于输入输出权重不一致性导致的不可比拟问题。Sexton等人（1986）通过引入二级目标来确定输入输出权重、消除权重的不唯一性。随后Doyle和Green（1994,1995）10,11从同行评价的角度解释了交叉效率的含义，并给出了后来的到广泛引用的二级目标函数-攻击型计算方式和仁慈型计算方式，下面两个模型依次为攻击型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型：表51 交叉效率示意表决策单元交叉效率算术平均值12n攻击型交叉效率模型：（8）仁慈型交叉效率模型:（9）然而，至今仍无一个准如此来判别什么

11、情况下使用攻击型或者是仁慈型。为了防止目标函数选择上的两难， Wang和 Chin （2010a）12提出了一种中性交叉效率模型。其模型形式如下所示：（10）利用Charnes-Cooper的变换公式，可得中性交叉效率模型的线性模型（11）交叉效率模型还有其他一些改良方式，例如：Liang等人（2008a） 13 年提出了3个可供选择的二级目标计算方式；Liang等人（2008b）14将非合作博弈理论与交叉效率评价方法结合起来，提出了博弈交叉效率的概念，并设计了算法求解博弈交叉效率值，同时证明了该博弈交叉效率值即为纳什均衡点；Wang和Chin （2010b）15提出了一些可选择性交叉效率评价

12、模型；Wang和Chin（2011）16在交叉效率的研究中率先引入有序加权平均算子（Ordered weighted averaging operator , OWA），很好的表现了决策者的各种偏好，尤其是对不合理的交叉效率评价值赋予较小的权重，从而使得最终的评价结果更为科学合理。有兴趣的读者可以进一步参阅其他有关交叉效率的相关论文。五几何平均效率模型为了区分有效决策单元的排序难问题，Wang等人（2007）17于2007提出了悲观效率模型，并将其与乐观效率模型相结合，提出了基于几何平均值的双前面数据包络分析方法。基于悲观前沿面的数据包络分析模型为：（12）其中和是非负权重。模型（12）与模型

13、（2）的区别在于：模型（12）计算所得效率均大于等于1，而模型（2）所得的效率值均小于等于1。基于几何平均值的双前沿数据包络分析方法就是将模型（12）所得的效率与模型（2）所得的效率通过几何平均的方式加以综合，即：其中为综合后的的效率值，而和分别对应该决策单元在模型（2）与模型（12）下的最优效率值。如下图为有效前沿面和无效前沿面的一个演示图。图5-1决策单元的有效和无效前沿面六最优决策单元的选择在实际应用中，决策者有时候关心的是哪个方案或者哪个决策单元是最优的，而对于其他单元的排序并不在意。因此，如何利用DEA模型直接寻求最优决策单元成为学者们所感兴趣的问题。Amin和Toloo （2007）18提出了一个混合整数线性规划模型，采用两步法以期实现寻求最优决策单元。然而随后Amin （2009）19发现这种两步法有时会产生两个或者两个以上的最优决策单元，因此他提出一个非线性混合整数模型。Foroughi （2011）20发现Amin的非线性规划模型在有些情况下是不可行的。不过Foroughi （2011）的模型存在着一些