第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型Word格式.docx

1、2.（2015重庆）若非零向量a，b满足|a|b|，且（ab）（3a2b），则a与b的夹角为（）A. B. C. D.答案A解析由（ab）（3a2b）得（ab）（3a2b）0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos .又0，.3.（2015陕西）对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是（）A.|ab|a|b| B.|ab|a|b|C.（ab）2|ab|2 D.（ab）（ab）a2b2答案B解析对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立

2、.故选B.4.（2016课标全国乙）设向量a（m，1），b（1，2），且|ab|2|a|2|b|2，则m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，得m2.5.（2016上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1），P是曲线y上一个动点，则的取值范围是_.答案0，1解析由题意知y表示以原点为圆心，半径为1的上半圆.设P（cos ，sin ），0，（1，1），（cos ，sin 1），所以cos sin 1sin（）10，1的范围为0，1.高考必会题型题型一平面向量数量积的基本运算例1（1）（2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满

3、足3，2，则A.20 B. 15 C.9 D.6（2）（2015福建）已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于（）A.13 B.15 C.19 D.21答案（1）C（2）A解析（1），（43）（43）（16292）（1662942）9，故选C.（2）建立如图所示坐标系，则B，C（0，t），（0，t），t（0，t）（1，4），P（1，4），（1，t4）1717213，故选A.点评（1）平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”

4、.（2）向量的数量积运算需要注意的问题：ab0时得不到a0或b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|ab|a|b|.变式训练1在ABC中，ADAB，2，|1，则A.2 B. C. D. 解析在ABC中，2，（）（2），又因为，（12）2（12）22 2，因为ADAB，所以，所以0，（12）0212，故选A.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2（1）设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为（）A. B. C. D.0（

5、2）已知向量a，b满足|a|2|b|0，且关于x的函数f（x）2x33|a|x26abx5在R上单调递减，则向量a，b的夹角的取值范围是（）A. B. C. D. 答案（1）B（2）D解析（1）设a与b的夹角为，由于xi，yi（i1，2，3，4）均由2个a和2个b排列而成，记S（xiyi），则S有以下三种情况：S2a22b2；S4ab；S|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，又0，故选B.（2）设向量a，b的夹角为，因为f（x）2x33|a|x26abx5，所以f（

6、x）6x26|a|x6ab，又函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）0在R上恒成立，所以36|a|24（6）（6ab）0，解得ab|a|2，因为ab|a|b|cos ，且|a|2|b|0，所以|a|b|cos |a|2cos |a|2，解得cos ，因为0，所以向量a，b的夹角的取值范围是，故选D.点评求向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律.（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角.变式训练2若非零向量a，b满足|a|b|，（2ab）b0，则a与b的夹角为（）A.30 B.60 C.

7、120 D.150答案C解析设a与b的夹角为，由题意得|a|b|，（2ab）b0，可得2abb22|a|b|cos b22|a|a|cos |a|20，解得cos ，因为0180，所以120，故选C.题型三利用数量积求向量的模例3（1）已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.（2）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，点P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.答案（1）3（2）5解析（1）由|2ab|，则|2ab|210，及4a24abb210，又向量a，b的夹角为45，且|a|1，所以4141|b|cos|b|210，即|b|22|b|60，

8、解得|b|3.（2）方法一以点D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D（0，0），A（2，0），C（0，a），B（1，a），P（0，x），（2，x），（1，ax），3（5，3a4x），|3|225（3a4x）225，|3|的最小值为5.方法二设x （0x1），（1x），x，（1x），3（34x），|3|222（34x）（34x）225（34x）2225，点评（1）把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a（x，y），求向量a的模只需利用公式|a|即可求解.（2）向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利

9、用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|.变式训练3已知向量a，b，c满足|a|4，|b|2，a与b的夹角为，（ca）（ca）1，则|ca|的最大值为（）A. B.1 C. D.1解析在平面直角坐标系中，取B（2，0），A（2，2），则a，b，设c（x，y），则（ca）（cb）（x2，y2）（x2，y）（x2）2y（y2）1，即（x2）2（y）21，所以点C（x，y）在以D（2，）为圆心，1为半径的圆上，|ca|，最大值为|AD|11.故选D.高考题型精练1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则

10、A. B. C. D.解析由题四边形ABCD的边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF平行于BD，则.2.（2016课标全国丙）已知向量，则ABC等于（） B.45 C.60 D.120解析|1，|1，cosABC.又0ABC180ABC30湖南）已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为（2，0），则|的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9解析由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，故2（4，0），设B（x，y），则x2y21且x1，1，（x2，y），所以（x6，y）.故|，1x1，当x1时有最大值7，故选B.4.已知三点A（

11、1，1）、B（3，1）、C（1，4），则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D.解析（2，3），（4，2），向量在向量方向上的投影为，故选A.5.（2015安徽）ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是（）A.|b|1 B.ab C.ab1 D.（4ab）解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以（4ab）（4ab）b4ab|b|24（1）40，所以（4ab），故选D.6.已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a，b的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A.（，） B.（，）C.（2，）（，） D.（，2）（2，）解析a，b的夹角为锐角，ab11（2）0且1（2）10，（，2）（2，），故选D.7.已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且（ab）a，则向量a和b的夹角是_.答案解析（ab）a，（ab）aa2ab32cosa