学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程习题课文档格式.docx

1、重合平行知识点三两点间的距离公式（1）条件：点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（2）结论：|P1P2|.（3）特例：点P（x，y）到原点O（0,0）的距离|OP|.类型一直线恒过定点问题例1求证：不论m取什么实数，直线（2m1）x（m3）y（m11）0都经过一定点，并求出这个定点坐标证明方法一对于方程（2m1）x（m3）y（m11）0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点坐标为（2，3）将点（2，3）代入方程组左边，得（2m1）2（m3）（3）（m11）0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，3）方法二将已知方程（2m1）x（m3）y（m1

2、1）0整理为（2xy1）m（x3y11）0.由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，3）反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题（1）方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解（2）方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1（A2xB2yC2）0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k（xx0）的形式，则表示所有直线必过定点（x0，y0）跟踪训练1不论m为何实数，直线（m1）x（2m1）ym5恒过的定点坐标是_答案（9

3、，4）解析方法一取m1，得直线y4.取m，得直线x9.故两直线的交点为（9，4），下面验证直线（m1）x（2m1）ym5恒过点（9，4）将x9，y4代入方程，左边（m1）94（2m1）m5右边，故直线恒过点（9，4）方法二直线方程可变形为（x2y1）m（xy5）0，对任意m该方程恒成立，解得故直线恒过定点（9，4）类型二对称问题例2（1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P的坐标；（2）求直线3xy40关于点（2，1）的对称直线l的方程解（1）根据题意可知点A（a，b）为PP的中点，设P点的坐标为（x，y），则根据中点坐标公式得所以所以点P的坐标为（2ax0，2by0）（2）方法一

4、设直线l上任意一点M的坐标为（x，y），则此点关于点（2，1）的对称点为M1（4x，2y），且M1在直线3xy40上，所以3（4x）（2y）40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点A（0，4），B（1，1），则点A（0，4）关于点（2，1）的对称点为A1（4,2），点B（1，1）关于点（2，1）的对称点为B1（3，1）可得直线A1B1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.反思与感悟（1）点关于点的对称问题：若两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于点P（x0，y0）对称，则P是线段AB的中点，并且（2）直线关于点的对称问题：若

5、两条直线l1，l2关于点P对称，则：l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点跟踪训练2与直线2x3y60关于点（1，1）对称的直线方程是（）A3x2y20B2x3y70C3x2y120D2x3y80答案D解析由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x3y60平行，则可设所求直线方程为2x3yC0.在直线2x3y60上任取一点（3,0），关于点（1，1）的对称点为（1，2），则点（1，2）必在所求直线上，2（1）3（2）C0，C8.所

6、求直线方程为2x3y80.例3点P（3,4）关于直线xy20的对称点Q的坐标是（）A（2,1） B（2,5）C（2，5） D（4，3）答案B解析设对称点坐标为（a，b），由题意，得解得即Q（2,5）反思与感悟（1）点关于直线的对称问题求P（x0，y0）关于AxByC0的对称点P（x，y）时，利用可以求P点的坐标（2）直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点跟踪训练3一束光线从原点O（0,0

7、）出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P（4,3），求反射光线的方程解设原点关于l的对称点A的坐标为（a，b），由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解是点A的坐标为（4,3）反射光线的反向延长线过A（4,3），又反射光线过P（4,3），两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y3.由方程组由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3（x）类型三运用坐标法解决平面几何问题例4在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22（|AD|2|DC|2）证明设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A（b，c），C（a,0），则B（a,0）|AB|2（ab）2c2，

8、|AC|2（ab）2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22（a2b2c2），|AD|2|DC|2a2b2c2，|AB|2|AC|22（|AD|2|DC|2）反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤（1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上（2）用坐标表示有关的量（3）将几何关系转化为坐标运算（4）把代数运算结果“翻译”成几何关系跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A（0,0），B（a,0），C（b，c），则点D的坐标是（ab，c），|AC|，|BD|.故|AC|BD|.1已知点

9、A（x,5）关于点（1，y）的对称点为（2，3），则点P（x，y）到原点的距离是（）A2 B4C5 D. 解析由题意知解得P（4,1），则|OP|.2直线3xmy10与4x3yn0的交点为（2，1），则mn的值为（）A12 B10 C8 D6解析将点（2，1）代入3xmy10可求得m5，将点（2，1）代入4x3yn0，得n5，所以mn10，故选B.3当a取不同实数时，直线（2a）x（a1）y3a0恒过一个定点，这个定点的坐标为_答案（1，2）解析直线方程可写成a（xy3）2xy0，则该直线系必过直线xy30与直线2xy0的交点，即（1，2）4已知点P（3,2）与点Q（1,4）关于直线l对称，则

10、直线l的方程为_答案xy10解析线段PQ的垂直平分线就是直线l，则klkPQkl1，得kl1，PQ的中点坐标为（2,3），直线l的方程为y3x2，即xy10.5已知直线：5ax5ya30.（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围（1）证明直线l的方程可化为ya（x），所以不论a取何值，直线l恒过定点A（，），又点A在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限（2）解令x0，y，由题意，0，解得a3.所以a的取值范围为3，）1解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（其中为常数）

11、形式，可通过求解定点2有关对称问题的两种主要类型（1）中心对称：点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P（x，y）满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决（2）轴对称：点A（a，b）关于直线AxByC0（B0）的对称点为A（m，n），则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决课时作业一、选择题1直线ax2y80,4x3y10和2xy10相交于一点，则a的值为（）A1 B1 C2 D2解析联立解得交点坐标为（4，2），代入方程ax2y80，解得a1.2直线l1：xmy60与l2：（m2）x3y2m0只有一个公共点，则（）Am1且m3Bm1且m3Cm1且m3Dm1且m1答

12、案A解析两线相交，其系数关系为13m（m2）0，解得m3且m1.3光线从点A（3,5）射到x轴上，经反射后经过点B（2,10），则光线从A到B的距离是（）A5 B2C5 D10答案C解析点A（3,5）关于x轴的对称点的坐标为A（3，5）光线从A到B的距离是|AB|5.4已知M（0，1），点N在直线xy10上，且直线MN与直线x2y30垂直，则点N的坐标是（）A（2，3） B（2,1）C（2,3） B（2，1）解析设点N的坐标为（x，x1），直线MN与直线x2y30垂直，kMN（）1，kMN2，即2，解得x2，故点N的坐标为（2,3）5两直线3axy20和（2a1）x5ay10分别过定点A，B，则|AB|的值为（）A. B. C. D. 解析直线3axy20过定点A（0，2），直线（2a1