圆数学思想方法Word格式文档下载.docx

1、长线于M，且 .（1）在图中找出相等的线段（直接在横线上填写，所写结论至少3组，所添辅助线段除外，不写推理过程）：.（2）连结AD，AF（请将图形补充完整），若 ，求ACDF的值.【分析】（1）利用垂径定理易知：CE=DE，而由 可知CAG.AG=CG.根据相似可求得 CGDG=AGGF，可得DG=FG.（2） 先根据相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，设EG=x，则AG可用x表示，再用RtAEG建立x的方程，求出x，用AGCDGF得AC与DF的比.（1）CE=DE，AG=CG，DG=FG.（2）连接AC. ABCD，EC=ED，AC=AD.由相交弦定理，得 AEBE=CE2 .CE=3

2、. CD=AF=6.又 GDF=GFD，GD=GF.设EG=x，则AG=6-（3-x）=3+x.在RtAEG中，【小结】本题是一道垂径定理，圆周角定理，相交弦定理，切割线定理合为一体的综合题，第（1）问有开放性和探索性，第（2）问运用了方程思想，全面考查了对圆相关知识的认识.三、代数思想例3 如图所示，O的直径ABCD，E为OD的中点，AE交O于点G，CG交OB于点F.求证：OB=3OF.【分析】 确定两条线段之间的倍数关系，一般采用寻找等分点的直接证法和借助中间量的间接证法.根据本题的已知条件，可依据三角形相似比的关系，借助系数k寻求OB、OF的关系.证明：设半径OA=2k，则OE=ED=k

3、，AB=2OA=4k，OA=OC=OB=2k.连结DG、BG.四、运动的思想例4 已知：如图，ABC的外部有一动点P（不能在直线BC上），分别连结PB、PC，试确定BPC与BAC的大小关系.BPC与BAC之间没有联系，要确定BPC与BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造ABC的外接圆，问题就会迎刃而解.如图弧BAC和弧BMC是包含圆周角等于BAC 的两段弧（BMC=BAC），1.当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，2.当点P在弧BAC和弧BMC上时，BPC=3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在ABC和MBC外时，BAC.1.当点P在

4、弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，如图1，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，BDC，又BDC=BAC，BAC，（若点P在BC下侧的弓形BAC和弓形BMC外时，同法可证出BMC即2.当点P在弧BAC和弧BMC上时，如图2，根据同弧所对的圆周角相等，BPC=BAC（若点P在弧BMC上时，同法也可证得BPC=BMC=3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在ABC和MBC外时，如图3，延长BP交ABC外接圆于点D，连结CD，BDC，又BDC=BAC，BAC，（若点P在弓形BMC内且在MBC外时，同法也可证出BMC即BAC）.五、割补思想例5 如图，将半径为2cm的O分割成十个区

5、域，其中弦AB、CD关于点O对称，EF、GH关于点O对称，连接PM，则图中阴影部分的面积是_cm2（结果用表示）.解析：如图，根据对称性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的 ，应为： （cm2）.点评 把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形.分类思想在圆中的应用例1 已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?选题意图：考查两圆五种位置关系.设大圆半径R=5x两圆半径之比为5: 3，小圆半径r=3x，两圆内切时圆心

6、距等于6，5x-3x=6，x=3，大圆半径R=15，小圆半径r=9，当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，此时两圆外切;当两圆圆心距d2=5时，有d2当两圆圆心距d3=20时， 有R-r例2 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.例3 已知：如图，O和O1内切于A，直线OO1交O于另一点B，交O1于另一点F，过B点作O1的切线，切点为D，交O于C点，DEAB垂足为E.求证：（1）CD=DE;（2）若将两圆内切改为外切，其他条件不变，（1）中的结论是否成立?请证明你的结论.主要应用如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上这一结论解决的综合题（1）连结DF、

7、AD，AF为O1的直径，FDAD，又DEAB，DFE=EDA，BC为O1的切线，CDA=DFE，CDA=EDA，连结AC，AB为O的直径，ACBC，又AD公共，RtEDARtCDA，CD=DE.（2）当两圆外切时，其他条件不变，（1）中的结论仍成立.证法同（1）.例4 如图，O经过O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO交O于点Q、D，交O于点P，交EF于点C且EF=2 ，sinP= .（1）求证：PE是O的切线;（2）求O和O的半径的长;（3）点A在劣弧 上运动（与点Q、F不重合），连结PA交 于点B，连结BC并延长交O 于点G，设CG=x，PA=y.求y关于x的函数关系式.主要考查切线的判定

8、、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识的综合题。（1）连结OE，OP是O的直径，OEP=90，PE是O的切线.（2）设O、O的半径分别r、r.O与O交于E、F，EFOO，EC= EF= .在RtEOC、RtPOE中，OEC=OPE.sinOEC= sinOPE= ，sinOEC= ，即OC= r，r2- r=15，得r=4.在RtPOE中，sinOPE= ，r=8.（3）按题意画图，连结OA，OEP=90，CEOP，PE2=PCPO.又PE是O的切线，PE2=PBPA，PCPO=PBPA，即 ，又CPO=APO，CPBAPO， ，BC=60/PA.由相交弦定理得BCCG

9、=ECCF，BC=15/CG，PA=4CG，即y=4x（例5 两圆的半径分别是方程 的两根且两圆的圆心距等于3，则两圆的位置关系是（ ）（A）外离（B）外切 （C）内切（D）相交方程 的两根分别为1和2，而两圆的圆心距是3，两圆的半径之和等于圆心距，（1）两圆外离 ;（2）两圆外切 ;（3）两圆相交 ;（4）两圆内切 ;（5）两圆内含 .巧用整体思想求面积化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，把一些看似彼此独立，实质上紧密相连的量作为整体进行处理，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.例1 如图1，A

10、、B、C两两不相交，且半径都为 ，则图中阴影部分的面积之和为（ ）.A. B. C. D.析解：图中阴影部分为三个扇形，所以只要求出扇形的面积即可。但求扇形的面积必须知道圆心角的度数，如何求出这三个扇形的圆心角的度数呢?显然是比较困难的，因为这是一个普通的三角形。我们观察到三个圆的半径相同，于是考虑将三个圆心角拼在一起，这样就可以利用三角形的内角和定理来解决了。三个扇形圆心角的度数之和为三个顶点处的三个周角的度数之和减去三角形的内角和，即 ，所以阴影部分的面积之和为： = ，故选B.例2 如图2所示，已知A、B、C、D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图形中四个

11、扇形（阴影部分）的面积之和为（ ）.利用整体思想的方法，四个扇形的圆心角之和为四边形ABCD的内角之和，又因为四个圆的半径都是1，所以阴影部分的面积之和为： 故选B.例3 有六个等圆拼成甲、乙、丙三种形状摆放，使相邻两圆均互相外切，如图3所示的圆心的连线（虚线）分别构成正六边形、平行四边形和正三角形，将圆心连线外侧的6个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q，则（ ）.A.SQ B.SP C.SP且P=Q D.S=P=Q要想比较各个图形中阴影部分的面积，由于若逐一计算，显然有些麻烦，但考虑将六个扇形的圆心角合为一个整体，则可以利用多边形内角和定理，分别求得六个圆心角之和，这样就可以通过扇

12、形面积公式从整体上求解。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含

13、义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。因为图甲是六边形，即六个圆心角之和为 =720图乙六个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角，即 ;图丙中六个圆心角之和为三角形内角和加上三个半圆的圆心角，即： 。因此可见，这三个图形中的六个扇形的面积之和是相等的，即阴影部分的面积为： .故外侧扇形面积S=P=Q，应选D.由以上三道例题我可以明显地感悟到：数学思想方法是数学的灵魂。因此，我们在日常的数学学习中解题时要细心观察给出的图形,探寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键,而扇形的面积应用在其中的作用是不可低估的。查字典数学网家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提