steiner树1PPT资料.ppt

1、,一、问 题,二、假 设,1）通信站点集合V0是整数坐标的平面点集；2）两点间的距离为直角折线距离，线路费用正比于 线路长度；3）虚设站位于格点（即坐标为整数的点）上。,例如：设有三个通讯站，直角坐标分别为a（0,0）,b（4,3）,c（6,0）。两点间的距离为直角折线距离。以这三个站为顶点，距离为边权的加权完全图见左下图。右下图是增加了一个“虚设站”后，得到的费用更少的树图。,三、问题分析,Z2：平面上所有格点的集合；V0：Z2中给定的n个通信站点的集合Vs；Vs：Z2中任意s个点的集合，且VsV0=。点集V0的最小Steiner树：以V=VsV0为顶点集的完全图Ks+n，其中的边uv的权取

2、为点u与v之间的直角折线距离，得到一个赋权完全图，其最小生成树记为TVs。对任意非负整数s和任意点集Vs，所有TVs 中权最小者记为T*，T*即为最小Steiner树。T*中不属于V0的点称为Steiner点。特别，s=0时的TV0称为V0的最小支撑树。,三、问题分析,1.基本概念,（1）T*中包含多少个Steiner点（即虚设站）；（2）Steiner点的位置如何；（3）是否可能建立有效算法，以及如何解决该问题。,三、问题分析,2.几个小问题,定理1 设T*是n个给定点的所有最小Steiner树中Steiner点个数s最小的，则sn-2。,三、问题分析,3.已有的结论,定理2 Steiner

3、点位于给定通信站点的x坐标线，y坐标线形成的格点上。,推论：最多有n2-n=n（n-1）个Steiner点的可能位置,定理3 求n个点的最小Steiner树的问题是NPC问题。,令C,从mn（n-1）个可能的Steiner点位置中任取s个点，s=0,1,2,.,n-2，将取到的s个点与给定的n个点合并，构造以这n+s个点为顶点的赋权完全图G（图中边权取为两点间的直角折线距离）用Kruskal算法，求G的最小生成树Ts及其费用Cs。若CsC,则 C Cs,T Ts.从m个点中另取s个点重复2）,3）直到穷尽m个点中所有可能的点组合。,四、问题求解算法,1.穷举法,共需进行,四、问题求解算法,1.

4、穷举法,次迭代。若m不大，此法可行，否则若m大，此法将无效。对给定的9个通讯站，m可减少到31个，从而，共需进行3572224次迭代，设每次迭代需要0.017秒，3572224次迭代需花大约17个小时。,定理4 设V0=vi（xi,yi）:i=1,2,.,n,对每个yk,k=1,2,.,n,记,四、问题求解算法,1.穷举法,则在下述四类区域中不含Steiner点：,1.穷举法,定理4 说明四个角点位置也不可能有Steiner点。如图，星号点是给定的9个通讯站点。根据定理2，共有n（n-1）=72个Steiner点的可能位置。再根据定理4，区域D1,D2,D3和D4内不含Steiner点。由此可

5、确定，对给定的9个点，只有31个可能的Steiner点位置（图中小圆圈所示的31个位置）,m=31。,四、问题求解算法,（1）求给定的n个点上的最小支撑树，记录其费用；（2）取一个可能的Steiner点加入，求最小支撑树；（3）若该树的费用小于当前的最小费用，则记录此 树并更新费用；（4）重复（2）到（4）直到已有n-2个Steiner点，或任何剩余的Steiner点加入都不能减少费用。,2.构造型启发算法,四、问题求解算法,（1）输入给定的n个通信站点的坐标；（2）计算最小直角折线支撑树；（3）找重边，则重边的端点便是Steiner点的侯选点；（4）分别计算出每个侯选点作为Steiner点加

6、入后所 减少的费用，该费用称为此点的价值；（5）把最大价值的侯选点也作为一个给定点，重复（2）到（5）直到没有正价值的侯选点。,3 贪婪算法,（1）给定点集连同一些虚设点一起构成点集Z，求Z的最小支撑树，其费用记为C，置k=0；（2）产生新的点集S 从以下几种方式中随机选择一种：加入一个新的虚设点 去掉一个存在的虚设点 移动一个现有的虚设点到一个随机的允许位置（3）确定新点集S的最小支撑树，其费用记为C1，若C1C，则更新C为C1，更新当前点集Z为S,当k=M时停止，否则k=k+1,转（2）；若C1C，则仅以一定的概率（可取为exp-（C1-C）/T（k），其中T为一控制参数，称为温度，随k的增大而减小,比如取T（k）=T（0）/k，称为冷却方案）接受S作为当前点集Z，转（2）。,4.模拟退火法,五、计算结果,