高等数学第7章微分方程解答概要Word格式文档下载.docx

1、代入初始条件,故曲线方程为习 题 7-3 齐次方程 1、求下列齐次方程的通解 （1）解 （a） 当时,可将方程改写成.令,所以有.则原方程成为.分离变量,得两边积分得将代入上式整理,得通解为;（b） 当时,方程两边同除以,则原方程可改写成（因为时,）,也就是.与x0的情况一样）所以,对任意的,方程的通解为（C为任意常数）.（注:如果C=0,则由原方程知, ,若,则原方程变为,只有当时成立;若（A为常数）,则原方程变成,当A0时方程有解.）解 原方程可改写成代入上式,得通解为2. 求齐次方程满足所给初始条件的特解解 原方程可写成,有,所以原方程成为分离变量,得代入并整理,得通解为由初始条件.于是

2、所求特解为习 题 7-4 一阶线性微分方程1、求下列微分方程的通解（3）解 （1） 由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为（2） 将原方程改写成.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为 .（C为任意常数）（3） 将原方程改写成,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为即,当时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当时,则与上述结果一样）2、求微分方程满足所给初始条件的特解。解 由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为代入初始条件x=0,y=0得C=0.故所求特解为 3、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于。解 设曲线方程为,由题目条件得由一阶线性微分方程的通解公式得,得.故所求

3、曲线的方程为4、用适当的变量代换将微分方程化为可分离变量的方程，然后求出通解。解 令,则,且原方程变为.分离变量得,得原方程的通解为习 题 7-4 可降阶的高阶微分方程解，（C1,C2为任意常数） （2），则，且原方程化为，分离变量，得，即，也就是两边再积分，得原方程的通解为，当时，有分离变量，得所以原方程的通解为（注：如果p=0，则y为常数函数，也是原方程的解！），两边积分得，得从而有两边再积分得，故所求特解为3、试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线。解 因为直线在（0，1）处的切线斜率为，由题目条件知，所求积分曲线是初值问题：的解。对两边积分得，故所求积分曲线的方程为习 题 7-6 常

4、系数齐次线性微分方程（4）解 （1） 特征方程为,特征根为,故方程的通解为（为任意常数）.（2）特征方程为（3）特征方程为（4） 特征方程为,所以特征根为解 解特征方程，得特征根为故方程的通解为，且有，解得故所求的特解为习 题 7-6 常系数非齐次线性微分方程解 特征方程为,故对应的齐次方程的通解为又不是特征方程的根,令是原方程的一个特解,代入原方程得,消去,可得.所以原方程的通解为是特征方程的单根,设是原方程的一个特解,代入原方程并整理得,比较系数得解 对应齐次方程的特征方程为，故对应的齐次方程的通解为因是特征方程的单根，故可设是原方程的一个特解，代入方程并消去，比较系数，得，即 （C1,C

5、2为任意常数）。解 因为特征方程的特征根为不是特征方程的根,故可设是原方程的一个特解,代入方程得于是原方程的通解为且有解得所以,满足初始条件的特解为3、设函数连续，且满足，求解 由所给方程可得，在该方程两端对x求导，得即 将x=0代入方程（1）得又在方程（1）的两端对x求导，得令，则有初值问题上述二阶线性常系数非齐次微分方程的特征方程为，而不是特征方程的根，故令是方程（2）得特解，代入方程（2）并消去于是方程（2）有通解，有于是得复习题七1、 求微分方程解 所给方程为可分离变量的微分方程。分离变量得，所以，于是是所求之特解。2、求下列齐次方程的通解解：原方程可改写，令，两端积分，将代入并化简，

6、得通解（2）原方程可改写成.代入原方程得,整理并分离变量,得.两边积分得,也就是.将代入上式,得原方程的通解为（C为任意常数）3、求微分方程满足所给初始条件的特解：，两端积分，得，由初始条件，求得，所求特解为4、设有连接点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程.设所求曲线方程为，由题意，等式两边对求导有，整理得微分方程，此访程为一阶线性非齐次方程，由通解公式，得通解为，又由曲线过，可知，故所求曲线方程为 5、求下列微分方程的通解解 6、用适当的变量代换将方程7、求下列微分方程的通解：,原方程化为,故又分离变量,得当时,原方程为.即,两边平方得（其中）;综上讨论知,原方程的通解为为不等于零的任意常数,C2为任意常数）8、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：9、求下列微分方程的通解：解 特征方程,故对应齐次方程的通解为不是特征方程的特征根,故可设是原方程的一个特解.代入原方程,得比较系数得,解得,