1、,x1x21,x2e.由于h(0)1,故只需h()0即可,即(2a)1e2.2(2016新疆师范大学附中月考)已知函数f(x),其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若直线xy10是曲线yf(x)的切线,求实数a的值;(3)设g(x)xlnxx2f(x),求g(x)在区间1,e上的最大值(其中e为自然对数的底数)解析(1)f(x)(x0),在区间(,0)和(2,)上,f(x)所以f(x)的单调递减区间是(,0)和(2,),单调递增区间是(0,2)(2)设切点坐标为(x0,y0),则解得x01,a1.(3)g(x)xlnxa(x1),则g(x)lnx1a.令g(x)0,得xea1.当e
2、a11,即0a1时,在区间1,e上,g(x)为递增函数, 所以g(x)最大值g(e)eaae.当ea1e,即a2时,在区间1,e上,g(x)为递减函数,所以g(x)最大值为g(1)0.当1ea1e,即1a0,解得a.所以当1时,g(x)最大值为g(e)eaae,a2时,g(x)最大值为g(1)0.综上所述,当0时,g(x)的最大值为g(e)eaae,当a时,g(x)的最大值为g(1)0.3已知函数f(x)(4x24axa2),其中a0)令f(x)0,即(5x2)(x2)0x2.f(x)的单调递增区间为(0,)和(2,)(2)f(x),a令f(x)0,得x或x.当0时,f(x)当时,f(x)f(
3、x)在(0,)和(,)上单调递增;在(,)上单调递减易知f(x)(2xa)20且f()0.当1时,即2a0,f(x)在1,4上的最小值为f(1)f(1)44aa28,解得a22,不符合题意当14,即8a4,即a0,函数f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数f(x)无最小值若0e,则当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在区间(a,e上单调递增,所以当xa时,函数f(x)取得最小值lna.若ae,则当x(0,e时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,e上单调递减,所以当xe时,函数f(x)取得最小值.综上可知,当a0时,函数f(x)在区间(0,e上无最小值;e时,函数f(x)在区间(0,
4、e上的最小值为lna;当ae时,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为.5(2016衡水调研)已知函数f(x)(x36x23xt)ex,tR.(1)若函数f(x)在点(0,f(0)处的切线与y4x3平行,求t的值;(2)若函数yf(x)有三个不同的极值点,求t的取值范围;(3)若存在实数t0,2,使对任意的x1,m,不等式f(x)x恒成立,求正整数m的最大值解析(1)因为函数f(x)(x36x23xt)ex,所以f(x)(x33x29x3t)ex.函数f(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为f(0)3t,由题意可得3t4,解得t1.(2)f(x)(x33x29x3t)ex,令g(x)x33x2
5、9x3t,则方程g(x)0有三个不同的根又g(x)3x26x93(x22x3)3(x1)(x3),令g(x)0,得x1或x3.且g(x)在区间(,1),(3,)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,故原题等价于即有解得8t24.(3)不等式f(x)x,即(x36x23xt)exx,即txexx36x23x.转化为存在实数t0,2,使对任意的x1,m,不等式txexx36x23x恒成立,即不等式0xexx36x23x在x(1,m上恒成立设(x)exx26x3,则(x)ex2x6.设r(x)(x)ex2x6,则r(x)ex2.因为1xm,有r(x)0,r(2)2e20,r(3)e3故存在x0(2
6、,3),使得r(x0)(x0)0.当1x当xx0时,有(x)0,(2)e250,(3)e360,(4)e450,(5)e520,(6)e63当x6时,恒有(x)ax恒成立,求实数a的取值范围解析(1)f(x)的导函数f(x)ex1,0,解得x令f(x)0,解得xax的解集为P,则x|0x2P,即对于任意x0,2,不等式f(x)ax恒成立由于f(x)ax,得(a1)xex.当x0时,上述不等式显然成立,故只需考虑x(0,2的情况将(a1)xex变形为a1;令g(x)7且b3.8(2016山东青岛检测)已知函数f(x)ax21(a0),g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a24b时,求函数f(x)g(x)的单调区间,并求其在区间(,1上的最大值解析(1)f(x)2ax,g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1),且f(1)g(1)即a11b,且2a3b.解得a3,b3.(2)设h(x)f(x)g(x)当ba2时,h(x)x3ax2a2x1,h(x)3x22axa2.令h(x)0,得x1,x2.a0时,h(x)与h(x)的变化情况如下:(,)(,)h(x)h(x)极大值(,)h(x
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