江苏高等数学竞赛历年试题(本一).doc

1、2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分）1.设，则 .2. .3. .4.通过直线的平面方程为 .5.设由方程确定（为任意可微函数），则 二、选择题（每题3分，共15分）1.对于函数，点是( )A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D可去间断点2.设可导，若欲使在可导，则必有（ ）A. ； B. ；C. ；D3. （ ）A. 等于1； B. 等于0；C. 等于；D不存在4.若都存在，则在 ( )A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设为常数，则级数 (

2、 )A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与取值有关三（6分）设有连续导数，求.四（6分）已知函数由参数方程确定，求.五（6分）设在上可微，且，证明存在一点，使得.六（6分）设，求.七（6分）已知由方程确定，其中都是可微函数，求.八（8分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小.九（8分）求级数的和.十（8分）设在上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：.十一（8分）已知两个球的半径分别为，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.十二（8分）计算曲面积分，其中为曲面.2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填

3、空（每题5分，共40分）1.，则 ， 2. 设在上可导，下列结论成立的是 A. 若，则在上有界B. 若，则在上无界C. 若，则在上无界3. 设由确定，则 .4. .5. 曲线，在点的切线的参数方程为 .6.设，有二阶连续导数，有二阶连续偏导数，则 7. 交换二次积分的次序 .8.幂级数的收敛域 .二.（8分）设，求证.三.（8分）设在上连续，求证: 在内至少存在两个零点.四.（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与所包围的立体的体积.五.（9分）设为常数，试判断级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.（9分）设讨论在连续性，可偏导性与可微性.七.（9分）设在可导，

4、求八.（9分）设曲线的方程为，一质点在力作用下沿曲线从运动到，力的大小等于到定点的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角为锐角，求力对质点做得功.2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.时，与为等价无穷小，则 2. 3. 4. 时 5. 6. .7.设可微，则 .8. 设，为，则 . 二（10分）设在上连续，在内二阶可导，求证:1) 内至少存在一点使得；2）内至少存在一点使得三.（10分）设，在的边界上任取点,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于1）试将的距离表示为的函数；2）求饶旋转一周的旋转体的体积.四（10分）已知点,在平面上求一点，使最小.

5、五（10分）求幂级数的收敛域.六（10分）求证：，其中.七（10分）设连续，可导，为不含原点单连通域，任取，内积分与路径无关.（1）求；（2）求其中为边界取正向.2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.， 2. 3. 4.已知点,为坐标原点，则四面体的内接球面方程为 5. 设由确定，则 6.函数中常数满足条件 时，为其极大值.7.设是上从点到的一段曲线， 时，曲线积分取最大值.8.级数条件收敛时，常数的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中

6、加速度的变化率的最小值不大于公里/小时.三.（10分）曲线的极坐标方程为，求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程，并求切线与轴围成图形的面积.四（8分）设在上是导数连续的有界函数，求证：.五（12分）设锥面被平面截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，为上的两点，为原点，将沿线段剪开并展成平面图形，以方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出的边界的极坐标方程.六（10分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为，求.七（10分）1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.2008年江苏省第

7、九届高等数学竞赛题（本科一级）一填空题（每题5分，共40分）1. ， 时，2. ， 时在时关于的无穷小的阶数最高。3. 4.通过点与直线的平面方程为 5.设则= 6.设为围成区域，则 7.设为上从到的一段弧，则= 8.幂级数的和函数为 ，收敛域为 。二（8分）设数列为证明：数列收敛，并求其极限三（8分）设在上具有连续的导数，求证四（8分）1）证明曲面为旋转曲面2）求旋转曲面所围成立体的体积五（10分）函数具有连续的二阶偏导数，算子定义为1）求；2)利用结论1）以为新的自变量改变方程的形式六（8分）求七（9分）设的外侧，连续函数，求八 （9分）求的关于的幂级数展开式2010年江苏省第十届高等数学

8、竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分）1. 2.设函数可导，则 3. ，则 4. 5. 6.圆的面积为 7.设可微，则 8.级数的和为 二（10分）设在上二阶可导，证明：存在，使得三（10分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正方形的中点，（1）试求过点的平面与底面所成二面角的值。（2）试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知是等腰梯形，,求的长，使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分，其中六（12分）应用高斯公式计算，（为常数），其中.七.（12分）已知数列，记，判别级数的敛散性.2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（本一）一、填

9、空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上） 1、 2、则 3、 4、 5、函数皆可微，设则 6、设则 7、点到直线的距离为 8、级数为条件收敛，则常数的取值范围是 二、（每小题6分，共12分）（1）求 .（2）设在处三阶可导，且求.三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明. （1）函数在处可导，但在的某去心邻域内处处不可导.（2）函数在上一阶可导，为极值，且为曲线的拐点.四、（10分）设函数在平面区域D上可微，线段位于D内，点的坐标分别为，求证：在线段上存在点，使得 五、 （12分）计算曲线积分，其中为与的交线，从轴正向看去为逆时针方向.六（12分）点在平面的两侧，过点作球面使其在平面上截得的圆最小.（1）求球面的球心坐标与该球面的方程.（3）证明：直线与平面的交点是圆的圆心.七（12分）求级数的和.13