与轴对称相关的线段之和最短问题Word文件下载.docx

1、1如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10千米，BD30千米，且CD30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点B关于直线CD的对称点B，连接AB，交CD于点M则AM+BM = AM+BM = AB，水厂建在M点时，费用最小如右图，在直角ABE中，AE = AC+CE = 10+30 = 40EB = 30所以：AB = 50总费用为：503 = 150万2如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知AB=5，D

2、E=1，BD=8，设CD=x.（1）用含x的代数式表示ACCE的长；（2）请问点C满足什么条件时，ACCE的值最小?（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值（1）AC =，CE = 则AC+CE = + （2）A、C、E三点共线时AC+CE最小连接AE，交BD于点C，则AE就是AC+CE的最小值最小值是10（3）如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角AEF中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 133求代数式（0x4）的最小值如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角AEF中AF = 3 EF = 4则AE = 5所以，这个代数式的最小值是5（二）角

3、类4两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.解：分别做点P关于直线OA

4、和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。5如图AOB = 45，P是AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，则OP = OP1 = OP2 = 10且P1OP2 = 90由勾股定理得P1P2 = 10（三）三角形类6如图

5、，等腰RtABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 即在AC上作一点P，使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B，连接BE，交AC于点P，则BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值在直角BEF中，EF = 1，BF = 3根据勾股定理，BE = 7如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_。即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则线段DC的长就是EC+ED的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2，根据勾股定

6、理可得，DC=8等腰ABC中，A = 20，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值分别作点C、B关于AB、AC的对称点C、B，连接CB交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC = BN+MN+MC = BC， BN+MN+MC的最小值就是BC的值BAC = BAC，CAB = CABBAC = 60AC = AC，AB = AB，AC = ABAC = ABABC是等边三角形BC = 209如图，在等边ABC中，AB = 6，ADBC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连

7、接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BHAC于点H，则EH = AH AE = 3 2 = 1，BH = = = 3在直角BHE中，BE = = 2（四）正方形类10如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNMN的最小值为_。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DNBN线段的长就是DN的最小值在直角中，则故DN的最小值是11如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（ ）A2 B2 C3 D即

8、在AC上求一点P，使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE = AB = 212在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）.即在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2根据勾股定理，得，DQ = 13如图，四边形AB

9、CD是正方形， AB = 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在直角ABE中，求得AE的长为5（五）矩形类14如图，若四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；作点C关于BD的对称点C，过点C，作CBBC，交BD于点P，则CE就是PE+PC的最小值直角BCD中，CH = 错误！未定义书签。直角BCH中，BH = 8BCC的面积为：BHCH = 160所以 CEBC = 2160 则CE = 16（六）菱形类15如图，若

10、四边形ABCD是菱形， AB=10cm，ABC=45，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；点C关于BD的对称点是点A，过点A作AEBC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在等腰EAB中，求得AE的长为5（七）直角梯形类16已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A、 B、 C、 D、3作点A关于BC的对称点A，连接AD，交BC于点P则AD = PA+PD = PA+PDAD的长就是PA+PD的最小值SAPD = 4在直角ABP中，AB = 4，BP =

11、1根据勾股定理，得AP =所以AP上的高为：2（八）圆类17已知O的直径CD为4，AOD的度数为60，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点AB，交CD于点P，则AB的长就是PA+PB的最小值连接OA，OB，则AOB=90，OA = OB = 4根据勾股定理，AB = 418如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为（ ）A 2 BC 1 D即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点AB，交MN于点P，则点P就是所要作的点、OB，则OAB是等腰直角三角形所以 AB = （九）一次函数类19在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =_时，AC + BC的值最小点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点AB，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小设直线AB的解析式为y=kx+b，则-2=-k+b2=4k+b解得：k = （4/5） b = - （6/5）y = （4/5）x-（6/5）当x = 1时，y = -（2/5）故当n = -（2/5）时，AC+BC的值最小20一次函数y=kx+b的图