三角函数的周期函数Word文档下载推荐.docx

1、 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数的周期 例5 已知函数求周期 解： 4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 的周期 例7 求函数的周期 函数的最小正周期 5、若函数，且，都是周期函数，且最小正周期分别为，如果找到一个正常数, 使，（均为正整数且互质），则就是的最小正周期 例8 求函数的周期 的最小正周期是， 的最小正周期是 函数的周期 ，把代入得 ，即， 因为为正整数且互质， 所以 函数的周期 例9 求函数的周期 的最小正周期是，的最小正周期是，由， ， （为正整数且互质）, 得 所以 函数的周期是 函数的周期性-函数的周期

2、性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中突然出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的2.若T是周期，则kT（k0,kZ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f（x）=C；

3、3.若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）=f（xa）,则2a为函数f（x）的周期。（若f（x）满足f（a+x）=f（ax）则f（x）的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别）4.若函数f（x）图象有两条对称轴x=a和x=b，（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期5.若函数f（x）图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期。（证一证）6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a0,使 ，则 的一个周期是 ，f（px）的一个正周期是 ；5.数列 中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x

4、=0是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。四.经典例题做一做【例1】已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x（0,1）时，f（x）=x+1.求f（x）在（1,2）上的解析式。解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） x（1,2）, 则-x（-2,-1）, 2-x（0,1）, T=2,是偶函数 f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x+1=3-x. x（1,2）.解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f（x）=f（x+2）如图：x（0,1）, f（x）=x+1.是偶函数x（-1,0）时f（x）=f（-x）=-x+1. 又周

5、期为2， x（1,2）时x-2（-1，0）f（x）=f（x-2）=-（x-2）+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的（1,2）上向已知的（0,1）上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f（x）的定义域是R，且f（x+2）1-f（x）=1+f（x）,若f（0）=2008,求 f（2008）的值。周期为8， 法二：依次计算f（2、4、6、8）知周期为8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】若函数 在R上是奇函数，且在 上是增函数，且 .求 的周期；证明f（x）的图象关于点（2k,0） 中心对称;关于直线x=2

6、k+1轴对称, （kZ ）;讨论f（x）在（1,2）上的单调性；解: 由已知f（x）=f（x+2）=f（x+2+2）=f（x+4）,故周期T=4.设P（x,y）是图象上任意一点,则y=f（x）,且P关于点（2k,0）对称的点为P1（4k-x,-y）.P关于直线x=2k+1对称的点为P2（4k+2-x,y）.f（4k-x）=f（-x）=-f（x）=-y,点P1在图象上,图象关于点（2k,0）对称.又f（x）是奇函数,f（x+2）=-f（x）=f（-x）f（4k+2-x）=f（2-x）=f（x）=y, 点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.设1x1x22,则-2-x2-x1-1, 02-x22

7、-x11.f（x）在（-1,0）上递增, f（2-x1）f（2-x2）（*）又f（x+2）=-f（x）=f（-x） f（2-x1）=f（x1）, f（2-x2）=f（x2）.（*）为f（x2）f（x1）,f（x）在（1,2）上是减函数.总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究.欣赏】已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1x1）是奇函数.又知y=f（x）在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5. 证明： ；求 的解析式；求 在 上的解析式. 是以 为周期的周期函数，且在-1,1上是奇函数， ， .当 时，由题意可设

8、，由 得 ， ， . 是奇函数， ，又知 在 上是一次函数，可设 ，而 ， ，当 时， ，从而 时， ，故 时， .当 时，有 ， .当 时， ， 五提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 27 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（ ）的值为A.0 B. C.T D. 2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0， 时，f（x）=sinx，则f（ ）的值为A. B. C. D. 【填空题】3.设 是定义在 上

9、，以2为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间2，3上， = ,则 = 4.已知函数f（x）是偶函数，且等式f（4+x）f（4-x），对一切实数x成立，写出f（x）的一个最小正周 5.对任意xR，f（x）=f（x-1）+f（x+1）且f（0）=6,f（4）=3,则f（69）= 6.设f（x）定义在R上的偶函数，且 ，又当x（0，3时，f（x）=2x，则f（2007）= 。答案提示：1、A；由f（ ）=f（ +T）=f（ ）=f（ ），知f（ ）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx）2、D； f（ ）=f（ 2）=f（ ）=f（ ）=sin = .3、 ; 4、8；5、f（x-1）=f（x）-f

10、（x+1）,f（x）=f（x+1）-f（x+2）=f（x+2）-f（x+3）-f（x+2）= -f（x+3）f（x）= -f（x+3）=f（x+6） .周期是6；f（69）=f（3）=f（-3）= -f（-3+3）= -66、 ，周期T=6， F（2007）=f（3）=6【解答题】7.设函数f（x）的最小正周期为2002，并且f（1001+x）=f（1001x）对一切xR均成立，试讨论f（x）的奇偶性. 周期是2002, f（2002+x）=f（x）,又由f（1001+x）=f（1001x）得f（2002-x）=f（x）对任意的x都有f（x）=f（2002-x）=f（-x）,f（x）是偶函数.

11、8.设f（x）为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x2,3时f（x）=x，求x-2,0时f（x）的解析式。分析：由T=2可得x-2,-1和x0,1时的解析式；再由奇偶性可得-1，0上的解析式。因为函数f（x）是T=2的周期函数，所以f（x+2）=f（x）.又由于f（x）为偶函数，故 所以解析式为 9.设f（x）是定义在（-，+）上的函数，对一切xR均有f（x）+f（x+2）=0，当-1x1时，f（x）=2x-1，求当1x3时，函数f（x）的解析式。思路分析： f（x）+f（x+2）=0 f（x）=-f（x+2） 该式对一切xR成立， 以x-2代x得：f（x-2）=-f（x-2）+2

12、=-f（x）当1x3时，-1x-21， f（x-2）=2（x-2）-1=2x-5 f（x）=-f（x-2）=-2x+5， f（x）=-2x+5（1x3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。10.（2005广东）设函数 在 上满足 ， f（7-x）=f（7+x），且在闭区间0，7上，只有f（1）=f（3）=0。（）试判断函数y=f（x）的奇偶性；（）试求方程f（x）=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论由 得 即 由已知易得 ，所以 ，而 ，从而 且 故函数 是非奇非偶函数;（II）由 ,从而知函数 的周期为 当 时， ，由已知 ，又 ，则 当 时，只有 方程 =0在一个周期内只有两个解而函数 在闭区间-2005，2005共含有401个周期，所以方程 =0在闭区间-2005，2005共含有802个解【探索题】对于kZ，用Ik表示