1、2(2018 江西)设函数f(x)g(x)x2,曲线g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为2x1,则曲线f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为( )A4 B14 c2 D12解析f(x)g(x)2xg(x)在点(1,g(1)处的切线方程为2x1,g(1)2,f(1)g(1)21224,f(x)在点(1,f(1)处切线斜率为43(2018 辽宁)曲线xx2在点(1,1)处的切线方程为( )Ax2B3x2c2x3D2x1答案D解析(xx2)2(x2)2,|x12l12(x1),则2x1故选D4曲线ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )A94e2B2e2ce2De22解析
2、ex,ex在点(2,e2)的导数为e2ex在点(2,e2)的切线方程为e2xe2e2xe2与x轴、轴的交点分别为(1,0)和(0,e2),S121e2e22故选D5已知函数f(x),g(x)的导函数的图象如图,那么f(x),g(x)的图象可能是( )解析由题意知函数f(x),g(x)都为增函数,当xx0时,由图象知f(x)g(x),即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度;当xx0时,f(x)g(x),g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度,数形结合,选D6设8x2lnx,则此函数在区间(0,14)和(12,1)内分别( )A单调递增,单调递减B单调递增,单调递增c单调递减,单调递增D单调
3、递减,单调递减答案c解析16x1x当x(0,14)时,0,8x2lnx为减函数;当x(12,1)时,0,8x2lnx为增函数7下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是( )f(x)0的解集是x|0x2;f(2)是极小值,f(2)是极大值;f(x)没有最小值,也没有最大值ABcD解析由f(x)0 (2xx2)ex0 2xx20 0x2,故正确;f(x)ex(2x2),由f(x)0得x2,由f(x)0得x2或x2,由f(x)0得2x2,f(x)的单调减区间为(,2),(2,)单调增区间为(2,2)f(x)的极大值为f(2),极小值为f(2),故正确x2时,f(x)0恒成立f(x)无最小值
4、,但有最大值f(2)不正确8已知f(x)x3x,x,n,且f() f(n)0,则方程f(x)0在区间,n上( )A至少有三个实根B至少有两个实根c有且只有一个实根D无实根9已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )A1a2B3a6ca3或a6Da1或a2解析由于f(x)x3ax2(a6)x1,有f(x)3x22ax(a6)若f(x)有极大值和极小值,则4a212(a6)0,从而有a6或a3,故选c10要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20c,要使其体积最大,其高应为( )A2033cB100cc20cD203c解析设高为h,则半径为202h2,体积V13r2
5、h13(202h2) h13h32023h(0h20),Vh22023令V0,得h2033或h2033(舍去),即当h2033时,V为最大值11(2018 河南省实验中学)若函数f(x)(2)xx2的图象如图所示,则的范围为( )A(,1)B(1,2)c(1,2)D(0,2)解析f(x)(x2)(2)(x2)2(x)(x)(2)(x2)2由图知20,且0,故02,又1,1,因此12,选c12定义在R上的函数f(x)满足f(4)1f(x)为f(x)的导函数,已知函数f(x)的图象如图所示若两正数a,b满足f(2ab)1,则b2a2的取值范围是( )A(13,12)B(,12)(3,)c(12,3
6、)D(,3)解析由f(x)的图象知,当x0时,f(x)0,函数f(x)是减函数;当x0时,f(x)0,函数f(x)是增函数;两正数a,b满足f(2ab)1,f(4)1,点(a,b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界),b2a2的意义为阴影部分的点与点A(2,2)连线的斜率,直线AB、Ac的斜率分别为12、3,则b2a2的取值范围是(12,3),故选c二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在题中的横线上。13(2018 武汉模拟)函数xln(x)1的单调减区间是_答案(1e,0)14已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为,则_答案32解析令f(x)
7、3x2120,得x2或x2,列表得x3(3,2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00f(x)17 极值24 极值8 1可知24,8,3215(2018 南京一调)已知函数f(x)axx4,x12,1,A、B是其图象上不同的两点若直线AB的斜率总满足124,则实数a的值是_答案92解析f(x)a4x3,x12,1,由题意得12a4x34,即4x312a4x34在x12,1上恒成立,求得92a92,则实数a的值是9216(2018 淮北模拟)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1) (xa),若f(x)在xa处取到极大值,则a的取值范围是_答案(1,0)解析结合二次函数图象知,当a0或a1时,在
8、xa处取得极小值,当1a0时,在xa处取得极大值,故a(1,0)三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出字说明、演算步骤或证明过程。17(本小题满分10分)设a为大于0的常数,函数f(x)xln(xa)(1)当a34,求函数f(x)的极大值和极小值;(2)若使函数f(x)为增函数,求a的取值范围解析(1)当a34时,f(x)12x1x34,令f(x)0,则x2x340,x94或14,当x0,14时,f(x) 0,当x(14,94),f(x) 0,当x(94,)时,f(x) 0,f(x)极大值f(14)12,f(x)极小值f(94)32ln3(2)f(x)12x1xa,若f(x)为增函数
9、,则当x0,)时,f(x)0恒成立,12x1xa,即xa2x,即a2xx(x1)21恒成立,a118(本小题满分12分)已知函数f(x)lnxx(1)求函数f(x)的图象在x1e处的切线方程;(2)求f(x)的最大值;(3)设实数a0,求函数F(x)af(x)在a,2a上的最小值解析(1)f(x)定义域为(0,),f(x)1lnxx2f(1e)e,又f(1e)2e2,函数f(x)的在x1e处的切线方程为e2e2(x1e),即2e2x3e(2)令f(x)0得xe当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(0,e)上为增函数,当x(e,)时,f(x)0,则在(e,)上为减函数,fax(x)f(e)1
10、e(3)a0,由(2)知F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减F(x)在a,2a上的最小值f(x)ininF(a),F(2a),F(a)F(2a)12lna2,当0a2时,F(a)F(2a)0,fin(x)F(a)lna当a2时,F(a)F(2a)0,f(x)inf(2a)12ln2a19(本小题满分12分)设a0,函数f(x)xax21a(1)若f(x)在区间(0,1上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在区间(0,1上的最大值解析(1)对函数f(x)求导数,得f(x)1axx21要使f(x)在区间(0,1上是增函数,又要f(x)1axx210在(0,1上恒成立,即ax2
11、1x11x2在(0,1上恒成立因为11x2在(0,1上单调递减,所以11x2在(0,1上的最小值是2注意到a0,所以a的取值范围是(0,2(2)当0a2时,由(1)知,f(x)在(0,1上是增函数,此时f(x)在区间(0,1上的最大值是f(1)1(12)a当a2时,令f(x)1axx210,解得x1a21(0,1)因为当0x1a21时,f(x)0;当1a21x1时,f(x)0,所以f(x)在(0,1a21)上单调递增,在(1a21,1)上单调递减此时f(x)在区间(0,1上的最大值是f(1a21)aa21综上所述,当0a2时,f(x)在区间(0,1上的最大值是1(12)a;当a2时,f(x)在区间(0,1上的最大值是aa2120(本小题满分12分)已知函数f(x)1ln(x1)x(x0)(1)函数f(x)在区间(0,)上是增函数还是减函数?证明你的结论;(2)若当x0时,f(x)x1恒成立,求正整数的最大值解析(1)f(x)1x2xx11ln(x1)1x21x1ln(x1)由x0,x20,1x10,ln(x1)0,得f(x)0因此函数f(x)在区间(0,)上是减函数(2)解法一当x0时,f(x)x1恒成立,令x1有21ln2又为正整数则的最大值不大于3下面证明当3时,f(x)x1(x0)
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