判定平行四边形五种方法文档格式.docx

1、例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DFBE，试说明四边形ABCD是平行四边形. 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得ADFCBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.因为DFBE，所以AFD=CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以ADFCBE，所以AD=BC，DAF=BCE，所以ADBC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4 如图4，在平行四边形ABCD中，DAB、BCD的

2、平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AFEC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，DAB=BCD，所以AFEC.又因为1=DAB，2=BCD，所以1=2.因为ADBC，所以2=3，所以1=3，所以AECF.所以四边形AECF是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；

3、（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、 两组对边分别平行如图1，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。（1）选证BDEFEC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACD=60CD=CE，BD=AE，EDC是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120又EF=AE，BD=FE，BDEFEC（2）四边形ABDF是平行四边形由（1

4、）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60ABDF，BDAF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F（1）求证：BCGDCE； （2）将DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。（2）由于ABCD是正方形，所以有ABDC，又通过旋转CE=AE已知CE=CG，所以E

5、A=CG，这样就有BE=GD，可证EBGD是平行四边形。（1）ABCD是正方形，BCD=DCE=90又CG=CE，BCGDCE（2）DCE绕D顺时针旋转90得到DAE，CE=AE，CE=CG，CG=AE，四边形ABCD是正方形BEDG，AB=CDAB-AE=CD-CG，即BE=DG四边形DEBG是平行四边形当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、 两组对边分别相等例3 如图3所示，在ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD，等边ACE，等边BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四

6、边形DAEF是平行四边形。ABD和FBC都是等边三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60DBF=ABC又BD=BA，BF=BCABCDBFAC=DF=AE同理ABCEFCAB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、 对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AEBD于E，BFAC于F，CGBD于G，DHAC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。图4因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获

7、得解决。AEBD，CGBD，AEO=CGO，AOE=COG，OA=OCAOECOG，OE=OG同理BOFDOHOF=OH四边形EFGH是平行四边形当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、 两组对角相等例5 将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。（1）如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：ABC=ABD+DBC=30+90=

8、120，ADC=ADB+CDB=90+30又A=60，C=60ABC=ADC，A=C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将RtBCD沿射线方向平移到RtB1C1D1的位置时，有RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D，BC1B1=DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形=（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，ABCD，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置时，始终有ABC1D1，故ABC1D1是平行四边形。判断平行

9、四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AFCE.求证：四边形ACEF是平行四边形. DE是BC的垂直平分线，DFBC，DB = DC.FDB = ACB = 90. DFAC .CE = AE =AB.1 = 2 . 又EFAC，AF = CE = AE，2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF .四边形ACEF是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行例 2 已知：如图

10、2，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED = DF = EB. 连结FC.四边形AEFC是平行四边形. ABAC，B =ACB.ED = EB，B =EDB.ACB =EDB. EFAC.E是AB的中点，BD = CD.EDB =FDC，ED = DF，EDBFDC. DEB =F.ABCF.四边形AEFC是平行四边形.思路3：证明一组对边平行且相等例3 如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE = CF，M、N分别是DE、BF的中点.四边形ENFM是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形，AD = BC，A =C .又AE =

11、CF，ADECBF.1 =2，DE = BF .M、N分别是DE、BF的中点，EM = FN .DCAB，3 =2.1 =3. EMFN .四边形ENFM是平行四边形.E14二、考虑“对角”关系3思路：证明两组对角分别相等2例4 如图4，在正方形ABCD中，点E、F（图4）F分别是AD、BC的中点.（1）ABECDF；（2）四边形BFDE是平行四边形. （1）在正方形ABCD中，AB = CD，AD = BC，A =C =90，AE =AD，CF =BC，AE = CF. ABECDF.（2）由（1）ABECDF知，1 =2，3 =4. BED =DFB.在正方形ABCD中，ABC =ADC，

12、EBF =EDF. 四边形BFDE是平行四边形.三、考虑“对角线”的关系证明两条对角线相互平分例5 如图5，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.四边形AP1CP2是平行四边形. 连结AC交BD于O.OA = OC，OB = OD.BP1 = DP2，OP1 = OP2 .四边形AP1CP2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行，如图1,ABCD,ADBC。1.2两组对边分别相等，如图1