学论文线性方程组的求解及应用Word文档格式.docx

1、摘要：我们已经学习过了一些关于线性方程组的一般理论，本文在我们学习的基础上总结并推广，讨论了这些理论在高等代数中的应用，并试图应用简单的数学软件来实现求解过程.英文摘要：We have learned some common theories about system of linear equations, this article will summarize and generalize the theory on the basis of what we have known, discuss their application in high algebra and try to u

2、se a simple math software to find roots.关键词:克拉默法则 消元解法 MATLAB 直接法 迭代法 Key Word: Cramers Rule Elimination Method MATLAB Direct Method Iterative Method 1、引言在自然科学和工程技术中，很多问题的解决往往归结于求解线性代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程组、偏微分方程的边值问题等，最后都归结为求解线性代数方程组.在中学代数中，我们学过二元、三元线性方程组.但在生产实际中所遇到的线性方

3、程组，它的未知量往往不止两个、三个.那我们又该如何其求解呢？本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的线性方程组解的存在性、求解方法.具体地说就是要讨论以下几个问题：（1）线性方程组在什么情况下有解？也就是它有解的充要条件是什么？（2）假如没有解，当然不再讨论：如果有解，它究竟有多少个解？又怎么去求解？（3）假如只有一个解，那也简单；假如有多个解，解与解的关系又是怎么?（4）线性方程组有什么应用？经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用高等代数中的解法并不能得到它的解，我们用该怎么求解呢？经过数值分析这一门课程的学习我们知道关于线性方程组的数值解法一般两类，一

4、类是直接法，另一类是迭代法.本文将简略介绍直接法中的最基本的Gauss消去法及其某些变形（这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法）和详细介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法以及使用MATLAB如何进行线性方程组的快速求解.二、简单线性方程组的求解行列式按行展开定理【1】：n阶行列式D等于它的任一行元素与该行元素的对应代数余子式乘积之和.即定理2【1】：行列式的某一行元素与另一行的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.1.克拉默法则（行列式）如果线性方程组的系数行列式那么线性方程组（1）有唯一解：其中即Di是把D中的第i 列的元素换成线性方程

5、组的常数项而得到的行列式.证明：为证明（2）式是线性方程组（1）的解，只需把它代入方程组（1）的每个方程，如果两端相等，则说明（2）确实是方程组（1）的解.将（2）式代入方程组（1）的第i个方程组的左端，并注意把Di按照第i 行展开，得 根据行列式按行展开定理和定理2，可以看出，上式左端方括号只有bi的系数是D，而其他的bk （ki）的系数都是零，故得这说明（2）式是方程组（1）的解.再证解的唯一性.任给方程组的一个解：x1 = c1, x2 = c2, xn =cn , （3）我们只要证明（3）与（2）相同即可.将（3）代入方程组（1），得现在构造行列式给行列式的第2，3，n列分别乘以c2,

6、c3,cn后都加到第一列，得到. 根据（4）式，得,因D0，所以这样，我们证明了（1）的任一解都是（2），所以（1）的解是唯一的.2.消元解法上面已经了解了解线性方程组的克拉默法则，但是使用克拉默法则是条件的，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，而且系数行列式不为零，可是在很多问题中，我们所遇到的线性方程组并不都是这样的，有时方程的个数虽与未知量的个数相等，但系数行列式等于零；有时甚至于方程的个数与未知量的个数都不相等，这时就无行列式可言了.那么对于一般的线性方程组，究竟该如何求解呢？定理3 1 设线性方程组的（）和（）的增广矩阵分别为A和B.如果A可经过初等变换变为B，那么线性方

7、程组（）和（）是同解方程组.定理4（线性方程组有解的判定定理）1 线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A和增广矩阵B有相同的秩，即秩A=秩B.当秩A=秩B=n时，方程组（5）有唯一解；当秩A=秩Bn时，（5）有无穷多个解.利用线性变换和第一种列初等变换将方程组（5）的系数矩阵A和增广矩阵B变为如下的矩阵,其中r为A的秩，所以D所对应的线性方程组为：由于初等变换不改变矩阵的秩，且根据定理3同解方程的充要条件，所以有（5）和（6）是同解方程组.所以讨论（5）的求解问题就归结为讨论（6）的求解问题 .下面我们分情况讨论（5）是否是有解及有解时该如何求解的问题.情况1：rm,且dr+1,dm不全为零

8、.不妨设dr+1不等于0，此时出现0=dr+1，矛盾，所以方程组（6）无解，因此方程组（5）也无解情况2：r=m或虽然rm但dr+1,全为零.这时方程组（6）的后m-r个方程组或者不出现，或者全变为0=0.如果是后者，删除0=0的恒等式不影响方程组的解，所以方程组（6）的解同解于如下的方程组：这时又有两种情形：（a）当r = n时，方程组（7）为所以此时方程组（7）有唯一解（8），因此方程组（5）有唯一解：（b）当r n时，把方程组（7）改写为如下方程组：于是，让未知量取任意一组数，就可得到（7）的解：当然（9）也是（5）的一个解，反过来，由于（5）与（7）是同解方程组，所以（5）的任意一个解

9、都必须满足（7），从而具有（9）的形式.由于可以任意选取，所以用上述方法可以求出（5）的无穷多解.根据以上讨论，我们可以由情况1和情况（2）的讨论可知，或者r = m,或者r m，但,方程组（5）有解，在这两种情况下都有，秩 D = r . 所以秩 A =秩C .反过来，设秩 A = 秩 C，那么秩 D = r，由此即得 r = m或者r m但.因而由前面的情况2的讨论即知 ，方程组（5）有解.由情况2（a）知，当秩 A = 秩C = n，方程组有唯一解.由情况2（b）知，当秩 A = 秩 C n时，方程组有唯一解.三、解复杂的线性方程组1.直接法直接法就是经过有限步数学计算即可求得方程组的精

10、确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）.但实际运算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只可求得线性方程组的近似解.下面将阐述这类算法中的最基本的Gauss消去法及其某些变形.这类是解低阶稠密矩阵的有效方法. 定理5（矩阵的LU分解）【9设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式Di（i=1,2,n）,则A可以分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，且这种分解是唯一的（1）Gauss 消去法设有线性方程组 或写成矩阵形式Ax=b,其中其中A为非奇异矩阵.用消去法去解方程组的基本思想是，用逐次消去未知数的方法把原来的方程组Ax = b化为与其等价的三角方程组，而求解三角方程组就容易了.换句话说，

11、上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式，从而求解原方程组. 之前所讲的消元解法是其的特例，就不再缀述了.下面我们来讨论一般的解n阶方程组的Gauss消去法.将（10）式记为A（1） x = b（1），其中A（1） = （aij（1） = （aij） , b（1） = b.第一次消元.设a11（1）不等于0，首先设行计数乘数mi1 = ai1（1）/a11（1） （i=2,3,n），用-mi1乘式（10）的第1个方程，加到i（i=2,3,n）个方程上，消去（10）中的第2个方程知道n个方程的未知数x1,得到与式（10）等价的方程组（11） 一般第k（1kn-1）次消元.设第k

12、-1步计算已经完成，即已计算好与式（10）等价的方程组（12） A（k）x = b（k），且已消去未知数x1 , x2 , x3 ，xk-1,其中A（k）具有以下形式：设a（k）kk不等于0，计算乘数mik = aik（k）/akk（k）（i=k+1,n）,用-mik乘式A（k）x = b（k）的第k个方程加上第i （i=k+1,n）个方程，消去第k+1个方程直到第n个方程的未知数xk ,得到与式（10）等价的方程组A（k+1） x = b（k+1）.A（k+1）元素的计算公式为：显然A（k+1）的第一行直到第k行与A（k）相同.继续这一过程，直到完成第n-1次消元.最后得到与原方程等价的三角

13、方程组 A（n） x=b（n）. （13）上述过程称为消元过程.求解线性方程组（11），设aij（i）不等于0（i=1,2,n-1）,易得求解公式上式的求解过程称为回代过程.（2）Gauss消去法的变形Gauss消去法有很多变形，有的是Gauss消去法的改进、改写，有的是用于某一类特殊性质矩阵的Gauss消去法的简化.下面介绍Gauss主元素消去法和追赶法Gauss主元素消去法由Gauss消去法知道，在消元过程中可能会出现的情况，这时消去法将无法进行；即使在主元素但很小时，用其作除数，也会导致其元素的数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后会使得计算解不可靠.对于一般矩阵来说，最好每一步都选取系

14、数矩阵（或消元后的低阶矩阵）中绝对值最大的元素作为主元素，使Gauss消去法具有较好的数值稳定性.追赶法在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导以及船体数学放样中建立三次样条函数等中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组简记为Ax = f其中A满足下列对角占优条件：由系数矩阵A的特点，可以将A分解为两个三角阵的乘积，即A=LU.其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵.下面说明这种分解是可能的.设其中为待定未知量,比较上式两端得由，下面用归纳法证明从而可以由（15）式求得式（15）对于i = 1是成立的.现设（15）对i-1成立，求证对i亦成立.由归纳假设，又由于式（15）及A的假

15、设条件，有也就是，由式（14）得到这就是说，由A的假设条件完全确定了,实现了A的LU分解.求解A x =f等价于解两个三角方程组L y = f与U x = y,先后求解y 与x，从而得到以下解三对角方程组的追赶法公式：步1：计算的递推公式步2：解L y = f：步3：解U x = y:将计算系数及的过程称为追的过程，将计算方程组的解的过程称为赶的过程.追赶法公式实际上就是把Gauss消去法用到求解三对角方程组上去的结果.2.迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.迭代法具有存储单较较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变的优点，但存在收敛性及收敛速度方面的问题.迭代法是解大型系数矩阵方程组（尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组）