考点10 利用导数研究函数的单调性极值最值高考分类题库Word文档下载推荐.docx

1、A.（0,1） B.（0,2）C.（0,+） D.（1,+）【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.【解析】选A.由题设知:不妨设P1,P2点的坐标分别为:P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,其中0x11x2,则由于l1,l2分别是点P1,P2处的切线,而（x）=得l1的斜率k1为-,l2的斜率k2为;又l1与l2垂直,且0x2,可得:k1k2=-=-1x1x2=1,我们写出l1与l2的方程分别为:l1:y=- （x-x1）-lnx1,l2:y= （x-x2）+lnx2,此时点A的坐标为（0,1-lnx1）,点B的坐标为（0,-1

2、+lnx2）,由此可得:|AB|=2-lnx1-lnx2=2-ln（x1x2）=2,两式联立可解得交点P的横坐标为x=,PAB的面积为:SPAB=|AB|Px|=2=1,当且仅当x1=即x1=1时等号成立,而01,所以SPAB0,f（x）0的解集得出函数的极值点.【解析】选D. f（x）=3x2-12=3,令f（x）=0,得x=-2或x=2,易知f（x）在上单调递减,在上单调递增,故f（x）的极小值为f,所以a=2.2、解答题4.（2016全国卷高考理科T21）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.（1）求a的取值范围.（2）设x1,x2是f（x）的两个零点,证明:x1+

3、x20,则当x（-,1）时,f0;当x（1,+）时,f0,所以f（x）在（-,1）内单调递减,在（1,+）内单调递增.又f（1）=-e,f（2）=a,取b满足b0且b （b-2）+a（b-1）2=a故f（x）存在两个零点;设a0,由f（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.若a-,则ln（-2a）1,故当x（1,+）时,0,因此f（x）在（1,+）内单调递增.又当x1时,f（x）0,所以f（x）不存在两个零点.若a1,故当x（1,ln（-2a）时,f当x（ln（-2a）,+）时,f0.因此f（x）在（1,ln（-2a）内单调递减,在（ln（-2a）,+）内单调递增,0,所以f（x）不存在两个零

4、点,综上,a的取值范围为（0,+）.（2）不妨设x1x2,由（1）知,x1（-,1）,x2（1,+）,2-x2（-,1）,f（x）在（-,1）内单调递减,所以x1+x2f（2-x2）,即f（2-x2）1时,g0,而g（1）=0,故当x1时,g（x）从而g（x2）=f（2-x2）0,故x1+x20,记|f（x）|的最大值为A.（1）求f（x）.（2）求A.（3）证明|f（x）|2A.（x）=-2asin2x-（a-1）sinx.（2）当a1时, 当0a1时,令cosx=t,则f（x）=g（t）=2at2+t-1,其对称轴为t=,当t=时,解得a,所以当又,所以A=g.a时, =a, =2-3a所

5、以此时=2-3a.综上可得:A=（3）由（1）得.a时,1+a2-4a2=2A,当1时,A=.所以2A.当a1时,3a-16a-4=2（3a-2）=2A.综上所述:2A.6.（2016文科设函数f（x）=lnx-x+1.（1）讨论f（x）的单调性.（2）证明当x（1,+）时,11,证明当x（0,1）时,1+（c-1）xcx.（1）由题设,f（x）的定义域为,f（x）=-1,令f（x）=0,解得x=1.x0,f（x）单调递减.（2）由（1）知f（x）在x=1处取得最大值,最大值为f（1）=0.所以当x故（3）由题设c1,设g（x）=1+（c-1）x-cx,则g（x）=c-1-cxlnc,令g（x

6、）=0.解得x0=.当xx0时,g0,g（x）单调递增;0,g（x）单调递减.由（2）知1c,故0x01.又g（0）=g（1）=0,故当0所以当x（0,1）时,1+（c-1）x7.（2016浙江高考文科T20）设函数f（x）=x3+,x0,1.证明:（1）f（x）1-x+x2.（2） ,从而得到结论.【证明】（1）因为1-x+x2-x3=,由于0x1,有,即1-x+x2-x3,所以f（x）1-x+x2.（2）由0x1得x3x,故f（x）=x3+x+=x+-+=,所以f（x）,由（1）得f（x）1-x+x2=,又因为f=,所以f（x） ,综上, （x）+对于任意的x成立.（1）求导后,对a分情况

7、讨论.（2）令g（x）=f（x）+ =,对其求导,求其最大值,判断f（x）min与g（x）max的关系,进而可给出证明.（1）由题意,函数f（x）的定义域为,f（x）=.1 a0时,x（0,1）时,f0,函数f（x）单调递增,在x时,f0,函数f（x）单调递减.2 a0时,f（x）=,2时, 1,当x或时,当x时,f3 a=2时, =1,x时,f（x）0,函数f（x）在（0,+）上单调递增.4 a2时,02时,函数f（x）在和内单调递增,在内函数f（x）单调递减.（2）方法一:由（1）知函数f（x）在1,）内递减,在（,2内递增.故f（x）min=f（）=-ln+,（x）+.若令g（x）=,则

8、有g故存在x01,2使得函数g（x）在1,x0）递减,在（x0,2递增,则g（x）max=max,而g（1）=,g（2）=,所以g（x）max=.因为f（x）min-g（x）max=-ln+-=2-ln22.82-2.25-ln2 （1-ln2）所以,f（x）因为lnxx-1（当且仅当x=1时等号成立）,G（x）=.又f（x） （当且仅当x=1时等号成立）,即可得f（x）9.（2016山东高考文科T20）设f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x,aR.（1）令g（x）=f（x）,求g（x）的单调区间.（2）已知f（x）在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.（1）通过二次求导,研究g（x

9、）的单调性.（2）通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论.（1）g（x）=f（x）=lnx-2ax+2a,所以g（x）= -2a=.当a0,x时,g0,函数g（x）单调递增.0,x时,g0,函数g（x）单调递增,x时,g0,函数g（x）单调递减.当a0,函数g（x）单调递增区间为（0,+）.0,函数g（x）单调递增区间为,函数g（x）单调递减区间为.（2）由（1）知f（1）=0.当a0,f（x）单调递增,所以x时,f0,f（x）单调递减,x时,0,f（x）单调递增,所以f（x）在x=1处取得极小值,不合题意.当01时,由（1）知f（x）在内单调递增,所以x时,f0,f（x）单调递减,x时,f当a=,=1时,f（x）在内单调递增,在（1,+）内单调递减,所以x时,f（x）0,f（x）单调递减,不合题意.当a,01时,x,f当x时