1、又因方程为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。3若方程 有一个正根 证明:方程必有一个小于的正根。取函数。上连续，在内可导，且由罗尔定理知至少存在一点使即方程必有一个小于的正根。4设 求证不等式： 证明：取函数在上连续，在（a, b）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使，即，故5设在上连续，在内可导，证明存在使 取函数，则在上连续，在内可导，由柯西中值定理知，存在，使，即。6证明恒等式:取函数，则. 则因为，故。7证明：若函数在内满足关系式且 则.故，又8用洛必达法则求下列极限（1） （2） （3） （4）（5）（6） （7） （8）因为，而.所
2、以（9）因为，而,所以，9. 验证 存在，但是不能用洛必达法则求出。由于不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：。10. 当时，求函数的阶泰勒公式。因为其中介于x与之间.11. 求函数的阶麦克劳林公式。因为故其中介于x与0之间。12 确定函数的单调区间。函数除外处处可导，且令，得驻点这两个驻点及点把区间分成四个部分区间当时，因此函数在内单调减少。当时，因此函数在内单调增加。13证明不等式：当时， 取函数因此，函数在上单调增加，故当时，即亦即，当时，14. 设在时都取得极值，试确定的值，并判断在是取得极大值还是极小值？ ，在取得极值，则，故又因，故，所以在
3、时取得极大值；，所以在时取得极小值。15求函数在闭区间上的最大值与最小值。函数除外处处可导，令，得驻点又因，故，最小值为，最大值为。16某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为问底宽为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？设界面周长为，已知及即令，得驻点由知为极小值点。又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。17求函数图形的拐点及凹或凸的区间。令，得。当时，因此函数在内是凸的；当时，因此函数在内是凹的；当时，因此函数在内是凸的。曲线有两个拐点，分别为18利用函数图形的凹凸性，证明:取函数则当时，故函数在上是凹的，故对任何，恒有即19试决定曲线中的 使为驻点,为拐 点，且通过.由题设知，即.解得20描绘函数的图形。（1）定义域； （2）.（3）列表如下：x（0,1）1-+不存在拐点极小值 （4），. 1是垂直渐近线；0是水平渐近线. （5）取辅助点.（6）作图：21求椭圆在点处的曲率及曲率半径。两边对x求导得, 从而.两边对再x求导得.把代入得,把代入.因此椭圆在点处的曲率为,曲率半径22试问：抛物线上哪一点处的曲率最大？
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