1、(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P73A组T1)若m,n表示两条不同的直线,表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为()mn; mn; n.A1 B2 C3 D0答案B解析不正确,直线n与不一定垂直,可能是平行或相交或在平面内均正确故选B.(2)(必修A2P67T2)在三棱锥PABC中,点P在平面ABC中的射影为点O,若PAPBPC,则点O是ABC的_心;若P
2、APB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的_心答案外垂解析如图1,连接OA,OB,OC,OP,在RtPOA、RtPOB和RtPOC中,PAPCPB,所以OAOBOC,即O为ABC的外心如图2,PCPA,PBPC,PAPBP,PC平面PAB,AB平面PAB,PCAB,又ABPO,POPCP,AB平面PGC,又CG平面PGC,ABCG,即CG为ABC边AB的高,同理可证BD,AH分别为ABC边AC,BC上的高,即O为ABC的垂心3小题热身(1)(2017湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是()A且m B且mCmn且n Dmn且n答案C解
3、析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确故选C.(2)(2018辽宁五校联考)假设平面平面EF,AB,CD,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BDEF,现有下面四个条件:AC;AC;AC与BD在内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)答案解析如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BDEF.故要得到BDEF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有能保证这一条件题型1直线与平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定定理(2016全国卷)如图,已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形,P
4、A6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积利用线面垂直判定定理进行证明解(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.又PDDED,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PAPB,从而G是AB的中点(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EF
5、PC,又PAPCP,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CDCG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PEPG,DEPC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6,可得DE2,PE2.在等腰直角三角形EFP中,可得EFPF2,所以四面体PDEF的体积V22.角度2垂直关系中的探索性问题如图所示,平面ABCD平面BCE,四边形ABCD为矩形,BCCE,点F为CE的中点AE平面BDF;(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,
6、使得PMBE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由从BCCE取BE的中点H,CHBE入手分析连接AC交BD于O,连接OF,如右图四边形ABCD是矩形,O为AC的中点,又F为EC的中点,OF为ACE的中位线,OFAE,又OF平面BDF,AE平面BDF.AE平面BDF.(2)当P为AE中点时,有PMBE.证明如下:取BE中点H,连接DP,PH,CH.P为AE的中点,H为BE的中点,PHAB,又ABCD,PHCD,P,H,C,D四点共面平面ABCD平面BCE,平面ABCD平面BCEBC,CD平面ABCD,CDBC.CD平面BCE,又BE平面BCE,CDBE,BCCE,H为BE的中
7、点,CHBE,又CDCHC,BE平面DPHC,又PM平面DPHC,BEPM,即PMBE.方法技巧1证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理,这是主要证明方法(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理2线面垂直中的探索性问题探索结论是否存在,常先假设结论存在,再在这个假设下进行推理论证,寻找与条件相符或矛盾的结论,相符则存在,矛盾则不存在冲关针对训练(2018济南模拟)如图,正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,FAAC,EFAC,AB,EFFA1.
8、(1)求证:CE平面BDF;(2)求证:BE平面DEF.证明(1)设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,连接FO.由题知EFOC1,因为EFAC,所以四边形CEFO为平行四边形,所以CEOF.又CE平面BDF,OF平面BDF,所以CE平面BDF.(2)因为平面ABCD平面ACEF,平面ABCD平面ACEFAC,FAAC,FA平面ACEF,故FA平面ABCD.连接EO,易知四边形AOEF为边长为1的正方形,所以EO平面ABCD,则EOBD.所以BDE为等腰三角形,BD2BO2OC2,BEDE.因为BD2BE2DE2,所以BEDE.同理在BEF中,BEEF,因为DEEFE,所以BE平面DEF
9、.题型2面面垂直的判定与性质(2017北京高考)如图,在三棱锥PABC中,PAAB,PABC,ABBC,PAABBC2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点PABD;平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积首先分析已知中的垂直线段所在的平面,由于ABBC,取AC的中点是关键因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明:因为ABBC,D为AC中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,又PAACA,所以BD平面PAC.又BD平面BDE,所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDEDE,所以PA
10、DE.因为D为AC的中点,所以DEPA1,BDDC.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.结论探究在典例条件下,证明:平面PBC平面PAB.证明由(1)知PABC,又BCAB且PAABA,BC平面PAB,又BC平面PBC,平面PBC平面PAB.面面垂直的应用策略1证明平面和平面垂直的方法:面面垂直的定义;面面垂直的判定定理2已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直(2015全国卷)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.平面AEC平面BED;(2)
11、若ABC120,AEEC,三棱锥EACD的体积为,求该三棱锥的侧面积因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE,又BEBDD,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设ABx,在菱形ABCD中,由ABC120,可得AGGCx,GBGD.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EGx.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BEx.由已知得,三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3,故x2,从而可得AEECED.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为,故三棱锥EACD的侧面积为32.1.(2017全国卷)在正方体
12、ABCD A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析解法一:如图,A1E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC,BD垂直,B,D错误;A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C,且B1CBC1,A1EBC1,故C正确;(证明:由条件易知,BC1B1C,BC1CE,又CEB1CC,BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E,而D1E不与DC1垂直,故A错误故选C.解法二:(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E,(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0),0,0,0,A1EBC1.故选C.2(2017河北唐山一模)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点
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