动态规划应用举例.doc

1、南京航空航天大学 运筹学 课程论文题目：动态规划应用举例学号： 姓名： 完成日期：2013。5。16摘 要动态规划是解决最优控制的一种重要方法之一，算法的优点有：（1）易于确定全局最优解；（2）能得到一族解，有利于分析结果；（3）能利用经验，提高求解的效率。动态规划方法虽然存在许多不足之处，但随着计算机的日益普及，动态规划的应用越来越广泛，它能够巧妙地解决科学技术和实际生活中的许多实例。本文列举了一些典型例题，介绍了如何用动态规划去求解，不足之处是这些问题大多数都是确定型的，而对于连续型、随机型问题接触较少。关键词：动态规划；应用；正 文一、 资源分配问题所谓分配问题，就是将数量一定的一种或若

2、干种资源(例如原材料、资金、机器设备、劳力、食品等等)，恰当地分配给若干个使用者，而使目标函数为最优。设有某种原料，总数量为a，用于生产n种产品。若分配数量用于生产第i种产品，其收益为，问应如何分配，才能使生产n产品的总收入最大?此问题可写成静态规划问题：当都是线性函数时，它是一个线性规划问题；当是非线性函数时，它是一个非线性规划问题。但当n比较大时，具体求解是比较麻烦的。由于这类问题的特殊结构，可以将它看成一个多阶段决策问题，并利用动态规划的递推关系来求解。在应用动态规划方法处理这类“静态规划”问题时，通常以把资源分配给一个或几个使用者的过程作为一个阶段，把问题中的变量为决策变量，将累计的量

3、或随递推过程变化的量选为状态变量。设状态变量表示分配用于生产第k种产品至第n种产品的原料数量。决策变量表示分配给生产第k种产品的原料数，即=状态转移方程：允许决策集合：令最优值函数表示以数量为的原料分配给第k种产品至第n种产品所得到的最大总收入。因而可写出动态规划的逆推关系式为：利用这个递推关系式进行逐段计算，最后求得即为所求问题的最大总收入。 例1 某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高效率的设备五台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备之后，可以为国家提供的盈利如表9-1所示。表9-1 问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使国家得到的盈利最大。 解 将问题按工厂分为三个阶

4、段，甲、乙、丙三个工厂分别编号为1、2、3。设表示为分配给第k个工厂至第n个工厂的设备台数。表示为分配给第k个工厂的设备台数，则为分配给第k+1个工厂至第n个工厂的设备台数。表示为台设备分配到第k个工厂所得的盈利值。表示为台设备分配给第k个工厂至第n个工厂时所得到的最大盈利值。因而可写出逆推关系式为下面从最后一个阶段开始向前逆推计算。第三阶段：设将台设备(=0，1，2，3，4，5)全部分配给工厂丙时，则最大盈利值为，其中=0，1，2，3，4，5。因为此时只有一个工厂，有多少台设备就全部分配给工厂丙，故它的盈利值就是该段的最大盈利值，如下表。表9-201234500001441266231111

5、3412124512125表中表示使为最大值时的最优决策。第二阶段：设把台设备(=0，1，2，3，4，5)分配给工厂乙和工厂丙时，则对每个值，有一种最优分配方案，使最大盈利值为其中。因为给乙工厂台，其盈利为，余下的台就给丙工厂，则它的盈利最大值为。现要选择的值，使取最大值。其数值计算如表9-3所示。表9-3 012345000010+45+05120+65+410+010230+115+610+411+014240+125+1110+611+411+0161，250+125+1210+1111+611+411+0212第一阶段：设把台(这里只有=5的情况)设备分配给甲、乙、丙三个工厂时，则最大

6、盈利值为其中 。因为给甲工厂台，其盈利为，剩下的5台就分给乙和丙两个工厂，则它的盈利最大值为。现要选择值，使取最大值，它就是所求的总盈利最大值，其数值计算如表9-4所示。表9-4 01234550+213+167+149+1012+513+0210，2然后按计算表格的顺序反推算，可知最优分配方案有两个：(1) 由于=0 ，根据，查表9-3知=2，由，故，即得甲工厂分配0台，乙工厂分配2台，丙工厂分配3台。(2) 由于=2，根据，查表9-3知=2，由，故，即得甲工厂分配2台，乙工厂分配2台，丙工厂分配1台。以上两个分配方案所得到的总盈利均为21万元。 资源连续分配问题设有数量为的某种资源，可投入

7、A和B两种生产。第一年若以数量投入生产A，剩下的量就投入生产B，则可得收入为，其中g()和h()为已知函数，且g(0)=h(0)=0。这种资源在投入A、B生产后，年终还可回收再投入生产。设年回收率分别为0a1和0b0，cd。年回收率分别为a和b，0ab1。试求出最优策略的一般关系式。显然，这时状态转移方程为k段的指标函数为令表示由状态出发，从第k年至第n年末时所生产的产品的总产量最大值。可写出逆推关系式为：我们知道，在低负荷下生产的时间愈长，机器完好率愈高，但生产产量少。而在高负荷下生产产量会增加，但机器损坏大。这样，即使每台产量高，总起来看产量也不高。 从前面的数字计算可以看出，前几年一般是

8、全部用于低负荷生产，后几年则全部用于高负荷生产，这样才产量最高。如果总共为n年，从低负荷转为高负荷生产的是第t年，1tn。即是说，从1至t1年在低负荷下生产，t至n年在高负荷下生产。现在要分析t与系数a、b、c、d是什么关系。从回收率看，(b a)值愈大，表示在高负荷下生产时，机车损坏情况比在低负荷时严重得多，因此t值应选大些。从产量看，(c d)值愈大，表示在高负荷下生产较有利，故t应选小些。下面我们从(9-2)式这一基本方程出发来求出t与(b a)、(c d)的关系。令。则在低负荷生产时有，高负荷生产时有。对第n段，有由于cd，所以应选1才能使最大。也就是说，最后一年应全部投入高负荷生产。

9、故对n-1段，根据(9-2)式有因此，欲要满足上式极值关系的条件是当时，应取，即n 1年仍应全部在高负荷下生产。否则，当(9-4)式不满足时，应取，即n 1年应全部投入低负荷生产。由前面知道，只要在第k年投入低负荷生产，那么递推计算结果必然是从第1年到第k年均为低负荷生产，即有。可见，算出后，前几年就没有必要再计算了。故只需研究哪一年由低负荷转入高负荷生产，即从那一年开始变为1就行。根据这点，现只分析满足(9-4)式的情况。由于，故(9-3)式变为又由于，将它代入上式得对n-2段，由(9-2)式有由此可知，只要满足极值条件式就应选，否则为0，即应继续在高负荷下生产。 依次类推，如果转入高负荷下

10、生产的是第t年，则由可以推出，应满足极值关系的条件必然是：相应的有最优策略它就是例2在始端固定终端自由情况下最优策略的一般结果。 从这个例子看到，应用动态规划，可以在不求出数值解的情况下，确定最优策略的结构。可见，只要知道了a，b，c，d四个值，就总可找到一个t值，满足(9-5)式，且例如题中给定的，代入(9-5)式，应有可见，所以t=3，即从第三年开始将全部机器投入高负荷生产，五年内总产量最高。上面的讨论表明：当x在0，上离散地变化时，利用递推关系式逐步计算或表格法而求出数值解。当x在0，上连续地变化时，若和是线性函数或凸函数时，根据递推关系式运用解析法不难求出和最优解；若和不是线性函数或凸函数时，一般来说，解析法不能奏效，那只好利用递推关系式(9-1)求其数值解。首先要把问题离散化，即把区间0，进行分割，令x=0，2，m=。其的大小，应根据计算精度和计算机容量等来确定。然后规定所有的和决策变量只在这些分割点上取值。这样，递推关系式(9-1)便可写为对依次计算，可逐步求出及相应的最优决策，最后求得就是所求的最大总收入。这种离散化算法可以编成程序在计算机中计算。 1。2 二维资源分配问题 设有两