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1、kukf?（u?u）jijij 写成矩阵形式：fu?kk?ii?（1-2） ufkk?jj 写成矩阵符号形式：f?kd ）1-3（ 1 ）为弹簧单元的刚度方程，反映了单元特性：节点力与节点位移（1-3式（1-2）、之间的关系。式中：k 弹簧单元的刚度矩阵d 单元节点位移列阵f 单元节点力列阵 （注意：单元节点力是节点对单元的作用力） 弹簧单元刚度方程讨论：k ） 有何特点？1 对称、奇异、主对角元素恒正k 中元素代表什么含义？2） 刚度系数大小等于弹簧刚度；每列元素代表一端固定、另一端产生单位 位移时加在弹簧单元上的节点力。 ）上面单元刚度方程可以求解吗？为什么？3 不可以。刚度方程仅仅表征一

2、个典型单元的弹性特性，单元水平上无法 确定单元节点位移。只有把系统中所有单元特性集成后，在系统水平上才可 能求出所有未知位移和反力。单元水平上，若已知单元的节点位移，可由刚 度方程求出所有单元节点力分量。若节点力已知，单元节点位移不能确定， 单元可作刚体运动（小位移）。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解释。 2、弹簧系统整体分析原理 2 研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系 以右图的一个弹簧系统为例， 统进行求解的控制方程。个弹簧单元的特1-2），分别写出2 由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式（ 性方程如下：1-3 1 单元 ）1-4（ 2 单元 （1-5） 为单元节点的局部编号，上标是单元

3、号），2（注：右端节点力分量的下标1并在特定条件下求下面按两个方法完成系统特性的装配和控制方程的建立。 解。 1）由节点平衡方程导出： 节点）的平衡条件：，2，3系统处于平衡时，考虑各节点（ 1（单元节点力 节点受到的外载荷与节点受到与其连接的所有单元对其作用力 的反作用力）之和等于零。因此有下列（节点）平衡方程（组）：1fF?1121ff?122 ）（1-62fF?23 （1-5）代入（1-6）得到：把单元特性（ 1-4），ukuk?21111uk?（?k?k）uu?k 1-7（）31212122u?ku32232 写成矩阵形式： ）1-8（ 3 或矩阵符号形式：FKD? （1-9） ）就是

4、系统平衡方程，该方程建立了离散系统的外载荷与节（1-9，式（1-8） 点位移之间的关系，是求解节点位移的控制方程。K 弹簧系统的结构总刚度矩阵D 系统节点位移列阵F 系统节点载荷列阵 有那些特点和性质？1）K （讨论： ）上述方程能求解吗？ （2 2）由单元刚度方程叠加导出 ：）进行增广（扩大到系统规模）1-4），（1-5， 将单元12的刚度方程（ ）（1-10 ）1-11（ 上述两个矩阵方程叠加，得： （）1-12 4 1-8）相同的节点平衡方程。上式中代入节点力平衡关系（1-6），就得到与（）离散结构的节点上外载荷（系）单元特性集成；2上述两种方法都必须考虑1）的本质是节点的力平统外力）与

5、节点力（系统内力）的平衡。因此方程（1-8 衡关系，左边是由节点位移表示的（总）节点力，右边是节点所受外载荷。 ）给定载荷和约束条件下的求解 3 设边界条件为：0u?1 1-13）（PF?F32 ）变化为：则节点平衡方程（1-8 1-14）（ 个部分：该方程组展开后分为2 第23个方程变化为：， 1-15（） 1个方程变化为：第 （1-16） ）得到：1-16、1-15先后解方程（）（ ）1-17 （ ）1-18 5 从而解出了系统的未知位移和未知反力，并可以进一步求弹簧力。、例题3 3个弹簧的系统。图1-4所示一个 ,200N/mm/k?100Nmm,k?21 0u?P?500N,u?/k?

6、100Nmm,413 （a） 系统总刚度矩阵求： 1-4 图 （b） 节点2，的位移3 1、4的反力节点（ c） d （） 弹簧中的力2 解：:）a（ 写出各单元刚度矩阵： 应用叠加法直接得到系统总刚度矩阵： 6 或：该总刚度矩阵特点：对称性、奇异性、稀疏、非零元素沿主对角线呈带 状分布。）（b）式）和求出的总刚度矩阵，写出系统节点平衡1-8 参考前面的做法（ 方程： ）1-19（ u 考虑到位移边界条件：41 则平衡方程组（ 1-19）第23方程化为：， 求解上式得： c（）： 7 得：）的方程1，4 由（1-19 ：d）（ 内力为：弹簧222）?k（Fu2223?）?2N?200（?200

7、?3 （拉力） 、练习题4 对图示弹簧系统，试用叠加法 求其总刚度矩阵。并根据节点平衡方程的含义，尝试由各单元刚度矩 阵的元素直接写出总刚度矩阵的非 零元素。图 1-5 二、杆单元?目标：通过杆单元特性方程的建立，初步掌握有限元法单元分析的过程和原理。了解杆系结构分析的原理。 8 阵度矩元及其刚截1、等面杆单 元：面杆单点研究2节等截 ：系如下和单元上的力学量基本关 杆长L 截面积A 弹性模量E du?dx2-1 图 E?）xu?u（杆单元位移 杆单元应变?）（?x 杆单元应力?x（ 位移关系：应变 2-1）（ 元单移节点位： 应变关系：应力 ）（2-2 f?d? 力：点单元节? fu? 。元

8、特性单下面研究杆单元的 元特性接法导出杆单直1） 析：分进识知对单元行力学本学料用采材力基uu?杆单元伸长量： 2-3（） ij 9 （2-4? 杆应变L ?E ）（2-5?E 杆应力：L EAEA? 杆内力： ）（2-6?A?FLL EA 杆的轴向刚度： （2-7）?kL因此可比照弹簧单元于轴向变形模式下，杆单元的行为与弹簧单元相同，由 2-7），直接写出杆单元的刚度方程：的刚度方程（1-2），考虑到（ uf?1?EAii? 2-9）（?2-8?uf11?L?jj ： 写成符号形式 kdf?为度矩阵杆单元刚 1?EA?（2-10） 1?1L? 单性元特）2公式法导出杆 下：步 骤如 似义近位

9、移场上）（1在单元定把一个单元上的位移分布假设为简单多项式函数。有限元法中用插值法通过节点位移分量作为待定参数来构造单元位移函数。 对图2-1的杆单元，方便起见引入局部坐标 10 用位假设的简单移函数采知于该杆单元只有2个未位移分量，因此单元上 由 移进行线性插值。的一次多项式。故对单元节点位 ：如下插值函数 则容易定义出节点的 ）（2-11 插单元上近似位移函数的值形式为：因此 2-12）（ 移模式模元的位移式，这里是线性位也该位移函数称为单 数。函称为形状数，简称形函值2式（-11）中的插函数又 称为单元的形函数矩阵。写成矩阵形式为：上式中）式（2-12Nu?i （2-13）NdNN?ji

10、u?j通过该式把单元上的近似位式（2-13）是有限元法中最重要的关系式之一， 移分布函数用节点位移来表示，为进行单元层次上的分析打下了基础。 （2）单元应变和单元应力）求出）和单元的位移函数（2-13由杆一维变形的应变位移方程（2-1 单元的应变分布和节点位移的关系： ddu?Bd?Nd? ）（2-14?dxdx? 式中： d? （2-15）?L）?/L（N1N（）?Bjidx 称为单元的位移应变转换矩阵，简称应变矩阵。B 2-2），得单元应力和单元节点位移的关系：由一维杆的应力应变关系（?EE? ）2-16（ 3（）用弹性体的虚位移原理导出杆单元刚度方程 11 变形体的虚位移：的微小、（内部

11、连续，边界协调）假想在弹性体上发生的，满足位移许可条件 任意位移场。 可以理解为某个位移场的微小扰动（变分）。 虚位移的特征： ）假想的，与真实位移无关；1 ）几何上是许可的：连续、协调；2 ）微小、任意大小。3 虚位移原理：（应则外力虚功等于弹性体内的虚应变能弹性体受力平衡时，若发生虚位移， 力在虚应变上做的虚功）。下面把虚位移原理应用在所研究的杆单元上。 定义杆单元的虚位移：节点虚位移单元虚位移单元虚应变?i?d 节点虚位移：j 单元虚位移：dN?u d?dBu）? 单元虚应变：dxT?fd 那么，节点力虚功：TTTTT?dBdV?dBEdV?EdBBddV 单元虚应变能：VVV对杆单元应

12、用虚功原理，那么上述节点力（外力）虚功等于虚应变能，因此 有下列关系：TTT?dB?dfdVdBE 2-17）（? ）（2-18?V? 的任意性，从上式可以得到：考虑到d 12 T?dVd?BEB?V 上式就是杆单元的刚度方程，杆单元的刚度矩阵为：dVk?EBB 2-19）（V具体计这就是单元刚度矩阵的通式，其导出原理和计算方法可推广到其他类型的单元。 算如下： 2-20）（ 2-8）式相同。显然，与前面直接法得到的单元刚度矩阵（ 3）杆单元讨论2节点单元只有a. 只有拉伸、压缩变形的杆单元在局部坐标系下是一维问题，2 阶。个节点位移分量单元有2个自由度，单元刚度方程、刚度矩阵为2 单元刚度矩阵元素的物理意义：b. 设单元刚度方程为：ufkk?ii ）（2-211211?jj2221 令：u1?i ）2-22（?u0?j 2-21带入（）得到：fk?i 2-23）（11?j21时2-22）（上式表明，单元刚度矩阵第一列元素就是当单元节点位移满足式 的单元节点力分量。如果能设法求出此时的节点力，就得到第一列的刚度系数。 13 i）列元素表示当维持单元的第因此，一般地，单元刚度矩阵的第i（i=1,2（也时，施加在单元上的节点力分量。个自由度位移为，其它自由度位移为0 可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习） c. 单元刚度矩阵对称、奇异、主元恒正。 4）例题