第九章线性电路动态过程的时域分析文档格式.docx

1、0后的变动规律。电路发生换路后，电路变量从/ = 0到/TS的 整个时间段内的变化规律称为电路的动态响应。如果电路中发生多次换路，可将第二次 换路时刻计为F，将第三次换路时刻计为/ = g，等等，依此类推。分析动态电路过渡过程的方法之一是根据网络的KCL、KVL和元件的VCR建立描 述电路的微分方程，对于线性时不变电路，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分 方程，求解此常微分方程，即可得到所求电路变量在过渡过程中的变化规律，这种方法称为经典法。因为它是在时间域中进行分析的，所以乂称为时域分析法。现以图9.1所示电路为例说明时域分析法的求解过程。图中开关S在f = 0时刻闭合, 换路前电路处于

2、稳态，即电容电压为常数。按图示电压电流参考方向，根据KVL列出回路的电压方程为对线性时不变电路，上式是一个以电容电压叱为未知量的一阶线性非齐次常微分方 程。我们把用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。方程（9-1）的通解叱等于该方程的 任一特解叱“和与该方程相对应的齐次微分方程的通解叱力之和，即llC = liCp + ltCh式中特解“G的函数形式取决于电源通解6的函数形式取决于电路参数。式（91） 所对应的齐次微分方程的特征方程为RCp + l = O由此求得方程的特征根1治因此该齐次微分方程的通解为llCh = Ae即电路换路后的电容电压为lic = llCp + A0 （9-2）根据电

3、路的激励及初始条件即可求得上式中的待定系数4,从而确定一阶电路的过 渡过程的性态。从以上示例可见，时域分析的方法就是数学中的一阶微分方程的经典求解方法，关 键是如何利用我们所学过的电路知识确定初始条件、特解、特征根等。9.2电路变量的初始值用经典法求解常微分方程时，必须给定初始条件才能确定通解中的待定系数。假设 电路在f = 0时换路，若描述电路动态过程的微分方程为阶，则其初始条件就是指所求 电路变量（电压或电流）及其阶导数在/ = 0+时刻的值，这就是电路变量的初始值。 电路变量在/ = o_时刻的值一般都是给定的，或者可由换路前的稳态电路求得，而在换路 的瞬间即从/ = o至ij/ = o

4、+,有些变量是连续变化的，有些变量则会发生跃变。对线性电容，在任意时刻f,它的电荷q、电压叱与电流L在关联参考方向下的关 系为Mc（0 =叱00）+ 吉 Jg ic（&）dg设=0时刻换路，令/。=0_, / = 0+，则有q（O+） = q（O_） + J：）昭 （9-3a）叱（。+）=叱（0_） + 右 Jo_（） g （9-3 b）从上面二式可以看出，如果换路瞬间电容电流心为有限值，则式中积分项将为零, 于是有q（O+） = q（O_） （9-4a）叱（+）=叱（-） （9-4b）这一结果说明，如果换路瞬间流经电容的电流为有限值，则电容上的电荷和电压在 换路前后保持不变，即电容的电荷和电

5、压在换路瞬间不发生跃变。对线性电感可做类似的分析。在任意时刻，它的磁链鸭-电压“与电流g在关联 参考方向下的关系为哝） = %Vo） + J：Od衣）=加0）+ 二化（勺胯令/o=O_，/ =。+，则有0 厶（。+）=血（0_） + J：仏（昭 （9-5 a）%（0+） = /L（0_） + 土 J ：吨）砖 （9-5b）从上面二式可以看出，如果换路瞬间电感电压耳为有限值，则式中积分项将为零, 于是有0 厶（+） = 0（-） （9-6a）iL（0+） = iL（0_） （9-6b）这一结果说明，如果换路瞬间电感电压为有限值，则电感中的磁链和电感电流在换 路瞬间不发生跃变。换路瞬间电容电压和电

6、感电流不能跃变是因为储能元件上的能量一般不能跃变。电 容中储存的电场能量Wc = jcif.电感中储存的磁场能量WL = Ut如果叱和匚跃变， 则意味着电容中的电场能量和电感中的磁场能量发生跃变，而能量的跃变乂意味着功率 为无限大（=船，在一般情况下这是不可能的。只有某些特定的条件下，如含有C-E 回路或L-J割集1的电路，心和匚才可能跃变。叱-E回路是指由纯电容或由电容与电斥源构成的回路，L-J割集是指由纯电感或由电感与电流源构成的割集。倚关割集 的概念参见第I二章。由于电容电压叱和电感电流S换路后的初始值与它们换路前的储能状态密切相关， 因此称叱（0+）和5（0+）为独立初始值，一般情况下

7、，若换路后不出现C-E回路或L-J割 集则二者的值可由（9-4）、（9-6）式求出。而其它电压和电流（如电阻的电压或电流、电容 电流、电感电压等）的初始值称为非独立初始值。非独立初始值由独立初始值叱（。+）和 5（0+）结合电路中的电源并运用KCL、KVL等进一步确定。例91在图9.2（a）所示的电路中，己知/? = 40Q, = /?2 = 10Q , U$=50V, / = 0时开关闭合。求叱（+）、4（+）、，（+）、紅（+）和 0（+）。图9.2例9-1图解 换路前电路为稳定的直流电路，电容相当于开路，电感相当于短路，故有换路后“C和B都不会跃变，所以-）=1 V%（。+） = （0一

8、）=1 A根据替代定理，把电容用电压为叱（0+）的电压源等效代替，把电感用电流为b（0+）的 电流源等效代替，得到20+时的等效电路如图9.2（b）所示，进而可求得=叱（。+）= 1。V7（。+） = i（P+） - （0+） = _吉 A例9-2 图9.3（a）所示的电路中己知R = 10Q,R =2G,匕=10V, C=0.5F,厶=3Hj = 0时 将开关打开。求叱（。+）、b（0+）、。（。+）、+）、和刁（。+）c（0-） = 0 V/（0-） = - = 1 AK心（0_） = 0厶（0_） = 0换路后“c和S都不会跃变。画出=。+时的等效电路如图9.3（b）所示，注意：零初 始

9、条件下的电容在换路瞬间相当于短路，零初始条件下的电感在换路瞬间相当于开路， 这与直流稳态时恰好相反！由此等效电路得叱（0+）=叱（0_）=0 V（0+） = /L（-）=1 A7（0_） = -。（0十）=1 A,由 ic = C得（+）=力）=2 V/s（。+）= -尺1 5（。+） = -2 V,而“厶=厶学，故字（0+）=八0+）=_? A/sdt dt + L 3从以上例题可以看出，非独立初始条件在换路瞬间一般都可能发生跃变，因此，不 能把（9-4）、（9-6）的关系式随意应用于伦和匚以外的电压和电流初始值的计算中。9.3 阶电路的零输入响应激励在换路后的电路中任一元件、任一支路、任一

10、回路等引起的电路变量的变化均 称为电路的响应，而产生响应的源即激励只有两种，一种是外加电源，另一种则是储能 元件的初始储能。对于线性电路，动态响应是二者激励的叠加。这一节我们研究电路在 外施激励为零的条件下一阶电路的动态响应，此响应是由储能元件的初始储能激励的， 称为零输入响应。此过渡过程即为能量的释放过程。9.3.1 RC电路的零输入响应在图9.4所示电路中，设开关闭合前电容己充电到叱=,现以开关动作时刻作为记时起点，令/ = 0,开关闭合后，B|h0+时，根据KVL可得ltR+llC = 将llR=Ri及i = _C警代入上式，有RC令+叱=0RCp+l=0特征根为p = ic故微分方程的

11、通解为tuc = Aept = Ae RC换路瞬间电容电流为有限值，所以叱（0+） =叱（o_）=s，以此代入上式，可得积分常数A = “c（O+） = o因此得到/no时电容电压的表达式为t t（9-8）uc = mc（0+X “ = Ue RC 电阻上的电压电流分别为llR=llc=UQe 也C如厶川dt Ruc、 S和i随时间的变化曲线如图95所示。图9.5 心、你和i随时间变化的曲线从上述分析可见，RC电路的零输入响应叱、你、i都是按照同样的指数规律衰减 的。若记t=RC, uc可进一步表示为“c =uc（p+）e T （9-9）当R的单位为欧姆，C的单位为法拉时，厂的单位为秒，称：为

12、电路的时间常数。表9-1 列出了电容电压在t=0, t=r , t=2r,时刻的值。表91T2T3T4r5 T. 00cU。0.368 “0O135o0.05 UQ0.018 （/00.0067 o在理论上要经过无限长时间叱才能衰减到零值，但换路后经过3厂5厂时间，响应 己衰减到初始值的5%0.67%, 般在工程上即认为过渡过程结束。从表9-1可见，时间常数r就是响应从初始值衰减到初值的36.8%所需的时间。事 实上，在过渡过程中从任意时刻开始算起，经过一个时间常数厂后响应都会衰减632%。 例如在t = tQ时，响应为4llC（fO）= Oe r经过一个时间常数r,即在r = r0 + r时，响应变化为_空 _!uc（tQ +T）= UQe = e. uqC r = 0.368 wc（r0）即经过一个时间常数：后，响应衰减了 63.