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1、（3）当Z为纯虚数时，不存在实数a使Z为纯虚数.总结升华：由于a R,所以复数Z的实部与虚部分为 a ：7a 6与a2 - 5a - 6.a2 -11求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解；2求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；3求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可.举一反三:【变式1】设复数z=a+bi （a、b R）,贝U Z为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A. a=0 B . a=0 且 b 0 C . a0 且 b=0 D . a0 且 b 0【答案】A;由

2、纯虚数概念可知： a=0且b 0是复数z=a+bi （a、b R）为纯虚数的充要条件而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A.- - . , 2【变式2】若复数（a -3a 2） （a -1）i是纯虚数，则实数 a的值为（ ）A.1 B.2 C.1 或 2 D.-12 2【答案】B； / （a 2 C 1 i 是纯虚数， a -3a2=0且a-1 = 0 ,即 a = 2.【变式3】如果复数（m2 i）（1 mi）是实数，则实数 m=（ ）A. 1 B . - 1 C . 、. 2 D . . 2【变式4】求当实数m取何值时，复数z = （m2 - m - 2） （m2

3、-3m 2）i分别是:【答案】解析:同理可得:当 n =4k 3（k N ）时，i4k J4k i3 i当 n =4k 4（k N ）时,i4k =i4k i4 =（i4）k =1,2）（仁i）2 = 2i3）（a bi）（a -bi） = a2 b2举一反三：【变式1】计算：（1）（5 6i）+（ 2 i） （3+4i）（2）（1 2i）（3 -4i）（2 -i）（4）（I i）3-（i）2 ； （1 i）2 -（i）2（1） （5 6i）+（ 2 i） （3+4i）=（5 2）+（ 6 1）i （3+4i）=（3 7i） （3+4i）=（3 3）+（ 7 4）i= 11i.（2） （1 2

4、i）（3 -4i）（2 i） =（11 2i）（2 _i） =24 _7i23 100 1 2川-J100 5050 4、12622 2 彳3 丿 i i i i 二 i 二 i 二（i ） i 二 i 二一1）（1 i）3_（1_i）3 （1 i）2 .（1 i） 一（仁i）2（1_i） 2i（1 i） 2i（1-i） 2i 2 （4） 2 2（1 i） -（i）2【变式2】复数2i（1+i ）=（ 2i 1 i i； -2i 1 2i -n-2i 2i因X R, y是纯虚数，所以可设 y=bi （b R且b 0）,代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果/ y是纯虚数，可

5、设 y=bi （b R,且b 0）,则（2x 1）+（3 y）i = （2x 1）+（3 bi ）i =（ 2x 1+b） +3i ,y i =bi i= （b 1） i3X , y = 4i.1.复数定义：“形如 a bi （ a, b R ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这实数问题来研究这是解决复数问题的常用方法a, b, c, d2 .复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数 a+bi与c+di （ R）相等的充要条件是 a=c且b=d，可得到两个实数等式.i中y也并3.注意左式中的 3y并非是（2x 1）+（3 y）i的虚部，同样，在右边的 y 非是实部【变式1】设X、y为

6、实数，且+丄=丄，则+y =1- i 1- 2i 1-3i【答案】由-X y 得-（1 i） -y（1 2i 5（1 3i）1- i 1-2i 1-3i 2 5 10即 5x（1+i）+2y（1+2i）=5（1+3i） ，即（5x+2y-5）+（5x+4y-15）i=0 ，l5x 2y-5 =0 X =-1故 ,解得5x 4y-15 = 0 y = 5 X y = 4【变式2】若Z C且（3+z）i=1（i 为虚数单位），贝U Z=【答案】 设 z=a+bi（a,b R）,则（3+z）i=-b+（3+a）i=1例4:求证：复数Z为实数的充要条件是 ZZ需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概

7、念设 z=a+bi （a, b R）,贝 U Z = a bi充分性： Z- Z= a bi = a - bi = b = -b= b = 0= Z- R;必要性： Z- R,b = 0= a bi = a - bi = z = z综上，复数Z为实数的充要条件为 Z=Z【变式1】Xlr R ,复数（3x 2y） 5xi与复数（y -2）i 18的共轭复数相等，求 X,y.（y _2）i 18 =18 （2 - y）i18-（y-2）i =（3x 2y） 5xi = 丿2 -y =5x【变式2】若复数Z同时满足z-z = 2i , z = iz （i为虚数单位），则Z= 【答案】一1+i【变式3

8、】已知复数z=1+i ,求实数a、b使az 2bz =（a 2z）2.【答案】T z=1+i , az 2bz =（a 2b） （a-2b）i ,（a 2z）2 =（a 2）2 -4 4（a 2）i=（a2 4a） 4（a 2）i. a、b 都是实数，由 az 2bz = （a 2z）2 得广 2a +2b =a +4a,a -2b =4（a+2）.两式相加，整理得 a2+6a+8=0解得 a1= 2, a2=4,对应得 b1= 1, b2=2.所求实数为 a= 2, b= 1 或 a= 4, b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数Z满足z+z=2+8i ,求复数z.法一：设 z=a+bi

9、 （a, b R）,则 | Z I=a2 b2 ,代入方程得a b . ab2 =2 8i. Z= 15+8i法二：原式可化为：z=2 |z|+8i ,|z| R, 2 |z| 是 Z 的实部.于是 zF .（2-|z|）2 飞2 ,即 |z| 2=68 4z+zz=17 ,代入 z=2-z+8i得 Z= - 15+8i.【变式】已知z=1+i , a, b为实数.（1）若 = z2 3z -4 ,求 PJ ;（2）若 z 2 az b ,求 a, b 的值.Z-I （1） =（1 i）2 3（1i） -4 =2i 3i -4 =i 一1 （a 2） （a b）i =1 iIa 2 = 1 ！

10、 a - -1 -a b =1 b = 2类型六：复数的几何意义Z,例6、已知复数z = （m -2m-3）（m -4m 3）i （m R）在复平面上对应的点为求实数m取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.根据点Z的位置确定复数Z实部与虚部取值情况.（1）点Z在实轴上，即复数 Z为实数，由 m -4m 3=0= m = 3或 m = 1当m =3或m =1时，点Z在实轴上.（2） 点Z在虚轴上，即复数 Z为纯虚数或0,故 m - 2m-3=0= m =-1 或 m=3当m =-1或m =3时，点Z在虚轴上.3）点Z在第一象限，即复数 Z的实部虚部均大于 0m 2m

11、 3 0由 2 ,解得 1或m 3m -4m 3 0当m 1或m 3时，点Z在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的 特征.【变式1】在复平面内，复数 Z=Sin 2 icos2对应的点位于（ ）A.第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】 2 ：二， sin 2 0 , cos2 ： 0 ,故相应的点在第四象限，选 D.【变式2】已知复数Z= （3m2 -5m 2） （ - 1）i （ m R）,若Z所对应的点在第四象限，求m的取值范围.【答案】T z = （3m2-5m 2） - （m-1）ir 2.,3m -5m+20，解

12、得 m“.（m 1） 0 m的取值范围为m【变式3】已知Z是复数，Z 2i和乞均为实数，且复数（z ai）2对应的点在第一象z i限，求实数a的取值范围【答案】设 Z = Xyi （ X, y R）, z 2i = z = x （2 y）i ,由题意得y = -2 ,ZX-2i 1 1 1（x-2i）（2-i） （2x2） （x-4）i,2-i 2-i 5 5 5由题意得X =4 , z = 4 2iT （Z ai）2 =（12 4aa2） 8（a -2）i,（12 亠 4a _ a2 0根据已知条件有 ，解得2 ： a ：6 ,8（a-2） 实数a的取值范围是a （2,6）.1【变式4】已知复数Z对应的点在第一象限的角平分线上， 求复数 =Z-在复平面上Z对应的点的轨迹方程【答案】 设z=a+ai （a 0）1 III贝=Z （a ai） a （a ）iZ a+ai 2a 2a+ 1x = a令 2a ,消 a 得 x2- y2=2 （ x _ 、2 ）y =a -2a