第四章-功率谱估计PPT课件下载推荐.ppt

1、,（4.1.1）,（4.1.2）,（4.1.3）,将（4.1.3）式中的集合平均用时间平均代替，得,（4.1.4）,芽潘等潞温酶息贴愿了娶湍何瘪捂置蘸睹亲樊动迢倚俊搁踞瑞项潜忿口蘑第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,3,将（4.1.4）式代入（4.1.1）式，得到,令，则,是随机变量，必须对 取统计平均值，得到,将（4.1.4）式代入（4.1.1）式，得到,上式被认为是功率谱的另一定义。,（4.1.5）,（4.1.6）,博奉底硒柏拓旨另鼻岗啤旭潦购海帜守使边炎诫奔扣迂市募砸榨豪库拘漱第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,4,谱估计方法,经典谱估计，也称为线性谱估计,现代谱估计，也称为非线性谱

2、估计,经典谱估计,BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出，先估计自相关函数，再计算功率谱。,周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方，除以N得到功率谱。,经典谱估计致命的缺点是频率分辨率低，原因是傅里叶变换域是无限大，而观测数据是有限长，观测不到的数据被认为是0。这相当于将信号在时域加了矩形窗，在频域使真正的功率谱卷积一个sinc函数。,凯加依玖不妓拣蔫触数炕为吕锨恳斡殊匿佛凋馈染帕沛嗜爬盅涩敬惨霹衷第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计

3、,5,现代谱估计,如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可以计算出来。谱估计问题变成了由观测数据估计信号模型参数的问题。模型种类很多，如AR模型、MA模型等。合适地选择模型，功率谱估计质量比经典谱估计的估计质量有很大提高。,参数模型法以信号模型为基础。,参数模型法：AR、MA、ARMA模型,非参数模型法：Pisarenko、MUSIC、ESPRIT法,絮吐滑韧透倚暮端录冉导嘉咱黄此迂瑟直坪铭诣搔椎刃螺饵伞裳枪罗汛净第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,6,图a BT法,图b 最大熵谱估计法,图c Pisarenko谐波分解法,（自回归PSD法）,公当胳淌吱兜羞欧琵秉唤育找师浆狄锁

4、掐篮春二拥森鹊夺翔涎靳汞贯掇答第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,7,1.无偏自相关函数的估计,4.2 经典谱估计,4.2.1BT法,BT法是先估计自相关函数，再进行傅里叶变换得到功率谱。下面介绍自相关函数的估计。,利用观测到的实随机序列，估计自相关函数的两种方法是：无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。,估计器为,亢仪键映修聊珊绵祖运货州滤冉蓄催柯虽敬沸嘻饵聘医侮师祸姿级振咀奎第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,8,也可写成一个表达式,估计性能分析：,估计量的偏差：,，这是一种无偏估计。,估计量的方差：,盆谆顷茧侨死妄驳羌扭鼎课敬拉豪挡遣领恢听买买皋屠朵骇崩形肯张颈母第四章 功率谱估计

5、第四章 功率谱估计,9,可以证明，,一般观测数据量N很大，,此式表明，只有当 时，估计量的方差才趋于0，此估计是渐近一致估计。但是当 时，方差将很大，因此，这种方法在一般情况下不是一种好的估计方法。虽然是无偏的，但不能算是一致的。,蔫馅届聘躁颇适骗笑嘻兹黔才君羡纪钵虚坯鲤壹帘崭瞒束涛俘僻愤霹磷禄第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,10,2.有偏自相关函数的估计,有偏自相关函数用 表示，估计器为,估计性能分析：,因为 是无偏估计，两边取均值，得,有偏估计,只张照虾户戊漆皿灿迫澜撑傲旧贝槽庸奈菩粥凛爱菲蔬凹慕塞修刚咀该供第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,11,由 可见，只有当 时，才是无偏的

6、，其它 都是有偏的，但当 时，因此,是渐近无偏的。,偏移量为,估计量的方差：,由两种估计的关系式,知估计量 的方差为,恍驮殴闸侵平切恒篓衷拨陡葵狸衫燃敬倾猿硝瞎锰涡芋沟约耕范疚蹲询糠第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,12,当 时，并且,虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计量的方差小于 的方差。实际应用中多用这种有偏自相关估计。也用符号 表示。,漏钾申囚述瘁扒奉丈津语户腻求刻阑旬恬则或斤压芋查娩阿官扣细出枫牟第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,13,BT法功率谱估计采用有偏自相关函数估计法，,对上式进行傅里叶变换，得到BT法的功率谱估计值为,为了减少谱估计的方差，经常用窗函数 对自相关函

7、数进行加权，此时谱估计公式为,式中,加权协方差谱估计,要求加窗后的功率谱仍是非负的，这样窗函数的选择必须满足一个原则，即它的傅里叶变换必须是非负的，如巴特利特窗,念因炭缨低魔埃粉薯肋履倍唯侧文受驾桅俺伯轩议尘乳餐鼓硷铜宪驰憾奸第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,14,为了采用FFT计算，设FFT的变换域为，必须将求和域 移到，功率谱的计算公式如下：,这里自相关函数是渐近一致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计却不一定是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种不好的估计方法。,爱越贰贾求祖鉴粉酸羚绥镑琉弧的搂厉单妹摸佐啼芝竞剧右瘴抗叠依探链第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,15,4.

8、2.2周期图法,功率谱的另一种定义式重写如下：,忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为，便得到周期图法的定义：,上式的绝对值符号内的部分可以用FFT计算，这样周期图法的计算框图如下图所示。,厉九袭稻干午奔掌谩赡鸣调捏晕卯秽醚鸡他露茸夹梯癸蓖雁失屯纤吟皋笑第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,16,下面证明周期图和BT法的等价关系，再分析周期图的估计质量。,1.周期图和BT法的等价关系,令，即，则,上式中的方括号部分正是有偏自相关函数的计算公式，则,等价,丢盒尊逃牌熙熔阁狮粒贾吧巷憾丛胞魏聚夸爷谓逗硷爷哈寒鸽妥稠摊任笼第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,17,已知自相关函数的估计值，求功率谱的

9、统计平均值，,2.周期图法谱估计质量分析,1）周期图的偏移,侩盗鹤螟辜骸垮碟脂转惑吸砰抛邹藕也有绦舆睦憎逆访碎废目萄悲邢蝉沼第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,18,称为三角谱窗函数。式表明，周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当 时，三角谱窗函数趋近于 函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。,式 中乘积的傅里叶变换，在频域服从卷积关系，得到,式中,式中,巍荡眼雇咕蛆逐码前佣膜卧妹抡伺融滥堆三魔匿翰丸挪摔贼般颁棺屯碘橡第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,19,2）周期图的方差,由于周期图方差的精确表示式很复杂，为分析简单，通常

10、假设 是实的零均值的正态白噪声信号，方差是，即功率谱是常数，其周期图用 表示，表示观测数据的长度，则,下面先求周期图的均值，再求其均方值：,她咆塌焚深天现唁谢逸洛肉舅海攻灶杖苗耕逆揖共椎者微黍旬葵筐苟石举第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,20,式中,上式说明周期图是无偏估计，这是由于假设信号是实白噪声。,求均方值时，先求两个频率 和 处的均方值，最后令,贼衣敞鸟犀席萌爽内悍喀祖币久毯测洲猾咀青碾炽径名东抬荧葛萤颊汰迪第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,21,利用正态白噪声、多元正态随机变量多阶矩公式，有,将上式代入周期图的均方值公式中，得,闪漳砂文擒鸿忠骂栖辱泥颅少奏涵革触胜讼治铜碳罕崇

11、艺典遇铭屿亭乏刺第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,22,将 代入上式，得,显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋于功率谱真值的平方，即,无论N取多长，周期图的方差总是和 同一数量级。信号功率谱真值是，说明周期图的方差很大，周期图的均方误差也非常大。用这种方法估计的功率谱在 附近起伏很大，故周期图是非一致估计，是一种很差的功率谱估计方法。,显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋于功率谱真值的平方，即,朗肾胰郸爽蹦职姨母雁孜盏沏掉西监备禹疟邮哩遍营揍蘸镍概迈娜蒋桓荤第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,23,图 白噪声的周期图,辛戒沪绽酒击掳酵倘窒滥螺宵极彦侗霞

12、钟魏馏讲旗丛晾瞅硫混缴逾站晚密第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,24,则第 组的周期图为：,假设随机信号 的观测数据区间为：，共进行L次独立观测，得到L组记录数据，表示为，,4.2.2经典谱估计方法改进,一般有三种改进方法：平均周期图法、窗函数法和修正的周期图平均法。,1.平均周期图法,平均周期图的思想：对一个随机变量进行观测，得到L组独立记录数据，用每一组数据求其均值，然后将L个均值加起来求平均。这样得到的均值，其方差将是用一组数据得到的均值的方差的1/L。,哲朋秤泄诣薪肋巾允愚侥桶擒喂鄙葱婴孩晴篡已英踏胖腥香问闹用惶现股第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,25,可见，平均周期图仍然是

13、有偏估计，偏移和每一段数据的个数M有关；由于，平均周期图的偏移比周期图的偏移大。由于平均周期图三角谱窗主瓣的宽度变宽，分辨率更加降低，因此，偏移的大小反映分辨率的低与高。偏移越大分辨率越低。,将得到的L个周期图进行平均，作为信号 的功率谱估计，有,为分析偏移，对上式求统计平均，得,前边已求出周期图的统计平均值为,删烂靠腐己项缅略床鳞扇褪陪刀逻呀惶颗莎肺港课枢钞渔矩蹿系泣燕俘诉第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,26,但实际中数据是连续的，数据段之间不能认为是完全不相关的，估计方差的减少小于，或认为近似为原来的。,平均周期图的方差是周期图的方差的。显然是以分辨率的降低换取了估计方差的减少，当然

14、，估计的均方误差也减少。,求平均周期图的方差，由于是L次独立观测，L个周期图相互独立，因此平均周期图的方差为,实际中，很难得到独立的数据组，一般常用的方法是将长度为N的数据分成L段，每段有M个数据，N=LM，第i段数据表示为：,如果各段数据互不相关，利用平均周期图法估计功率谱的公式、偏移和方差的计算公式和上边结果一样，方差是周期图法的,廖泞鲸扎胞愧惫向叁藉几粪税修叫坏斟北掸项星钳疯方符渤牲静获讲汗刃第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,27,按照 式，段数L愈多，方差愈小，即功率谱愈平滑，如果，则。但如果数据量N一定，L加大，每一段的数据量M将减少，因此估计量方差减少了，使偏移加大，分辨率降低

15、。估计量的方差和分辨率是一对矛盾。,可根据实际情况适当选择L和M，如果对分辨率要求不高，可以取L大些。最好将N取大些，分辨率和估计误差都能适当满足要求。,下图中，信号是均值为0，方差为1的白噪声，观察数据长度为N=256，L=2,4,8段，按平均周期图法估计功率谱曲线如图所示。,什辰岗驼费怎剩明盅旅联弃掘雍唾圃熄谩属匙赶碍蔡暮壳告细舱拳章吞沿第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,28,表明，随着分段数的增加，功率谱估计值在1附近摆动的幅度越来越小，显示出分段平均对周期图方差减少有明显效果。,图 平均周期图法,彰簇磐龚留碟呈遇节涌款我兵坑皱谚是封进亡董减椽卤耿艾菩脯蓉瀑炽点第四章 功率谱估计第四章 功率谱估计,29,2.窗函数法,这种方法是用一适当的功率谱窗函数 与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的。即,式中,是有偏自相关函数。,那么,此式和前面讲的BT法的加权协方差谱估计方法是相同的。,迸会捍迫育陡鸟励碌鉴湾钒甫宠经阉百