数学模型-第03章(第五版)PPT格式课件下载.pptx

1、,2.每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为 c2；,3.T天（一周期）生产一次,每次生产Q件，当贮存量降 为零时，Q件产品立即生产出来（生产时间不计）；,建 模 目 的,r,c1,c2 已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小.,4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.,模 型 建 立,贮存量表示为时间的函数 q（t）,t=0生产Q件，q（0）=Q,q（t）以需求速率r递减，q（T）=0.,一周期总费用,每天总费用平均值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A,=QT/2,模型求解,求 T 使,模型解释,定性分析,敏感性分析,参数c1,c2,r的微小变化对T,Q的影响,T对

2、c1的（相对）敏感度,c1增加1%,T增加0.5%,S（T,c2）=1/2,S（T,r）=1/2,c2或r增加1%,T减少0.5%,经济批量订货公式（EOQ公式）,用于订货供应情况:,不允许缺货的存贮模型,模型应用,回答原问题,c1=5000,c2=1，r=100,每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2,T天（周期）订货一次,每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.,思考:为什么与前面计算的C=950元有差别?,允许缺货的存贮模型,A,B,当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失.,原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来（或立即到货）.,现假设：允许缺货,每天每

3、件缺货损失费 c3,缺货需补足.,周期T,t=T1贮存量降到零,一周期总费用,一周期贮存费,一周期缺货费,每天总费用平均值（目标函数）,一周期总费用,求 T,Q,为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T,Q记作Q.,允许缺货的存贮模型,不允许 缺货模型,记,允许缺货模型,允许缺货模型,注意：缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R（或订货量）,Q不允许缺货时的产量（或订货量）,存 贮 模 型,存贮模型（EOQ公式）是研究批量生产计划的重要理论基础,也有实际应用.,建模中未考虑生产费用,为什么?在什么条件下可以不考虑?,建模中假设生产能力为无限大（生产时间不计）,如果生产能力有限（是大于需

4、求量的常数）,应作怎样的改动?,3.2 森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.,分析,问题,记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B（t）.,损失费f1（x）是x的减函数,由烧毁面积B（t2）决定.,救援费f2（x）是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1（x）,f2（x）之和最小.,关键是对B（t）作出合理的简化假设.,分析,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B（t）的大致图形.,分

5、析B（t）比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积 dB/dt（森林烧毁的速度）.,模型假设,3）f1（x）与B（t2）成正比，系数c1（烧毁单位面积损失费）,1）0tt1,dB/dt 与 t成正比，系数（火势蔓延速度）.,2）t1tt2,降为x（为队员的平均灭火速度）.,4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3.,假设1）的解释,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比.,模型建立,目标函数总费用,模型建立,目标函数总费用,模型求解,求 x使 C（x）最小,其中 c1,c2,c3,t1,为已知参数,c2 x,c1,t1,x,c3,x,c1烧毁单位面积损失费,c2每

6、个队员单位时间灭火费,c3每个队员一次性费用,t1开始救火时刻,火势蔓延速度,每个队员平均灭火速度.,为什么?,结果解释,/是火势不继续蔓延的最少队员数,模型应用,费用参数c1,c2,c3已知,由森林类型、队员能力等因素决定，可设置一系列数值备查.,模型可决定队员数量 x,开始救火时刻t1可估计,评注,在风力的影响较大时“森林烧毁速度dB/dt 与 t成正比”的假设需要重新考虑.,队员灭火速度应该与开始救火时的火势有关.,不平坦处满杯啤酒容易倾倒.,杯子中央稍下一点的位置.,重心有一个最低点 啤酒杯容易放稳的位置.,饮酒时重心先降低，再升高，回到中央.,建立数学模型描述啤酒杯的重心变化的规律，

7、找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素.,重心太高！,满杯时重心在哪里？,空杯时重心在哪里？,与满杯时重心相同.,倒酒时重心先升高，再降低，回到中央.,3.3 倾倒的啤酒杯,问题分析与模型假设,s（x）,最简单的啤酒杯 高度为1的圆柱体.,沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时液面高度从x=0到x=1.,假设：啤酒和杯子材料均匀.,w2 空杯侧壁质量w3 空杯底面质量,空杯重心由w2和w3决定,与x无关.,重心位置沿x轴变化，记作s（x）.,w1 啤酒（满杯）质量,s1=x/2,s2=1/2,液面高度x时啤酒质量w1x,啤酒重心位置 s1=x/2,问题分析与模型假设,s（x）,w1 啤酒（满杯）质量

8、w2 空杯侧壁质量,w3 空杯底面质量,空杯重心位置 s2=1/2,忽略空杯底面质量w3,啤酒杯重心s（x）由啤酒重心和空杯重心合成.,啤酒杯重心模型一,s1=x/2,s2=1/2,s（x）,s=s（x）液面高度x的啤酒杯重心,啤酒质量w1x,空杯质量w2,啤酒重心s1,空杯重心s2,力矩平衡,s1=x/2,s2=1/2,a=w2/w1,啤酒杯重心模型一,啤酒杯重心s（x）只与质量比a有关,a=w2/w1,w1 啤酒质量w2 空杯质量,a=0.3,x=0.35左右s最小,即重心最低.,对于每个a,s（x）有一最小点.,x=0.35,s（x）=2+2（+）,啤酒杯重心模型一,a=w2/w1,微分

9、法求解s极值问题,液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.,x 由质量比a决定,s（x）=2+2（+）,结果分析,半升啤酒杯w1=500g,空杯质量w2取决于材料（纸杯、塑料杯、玻璃杯）.,一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！,设w2=150g,w2 a x,空杯越重,重心最低时的液面越高.,s（x）=2+2（+）,重心最低位置x由比值a决定,结果分析,=x,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,意料之外?,情理之中!,直观解释,x=0时s=s2=1/2,结果分析,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,数学分析,ds/dx与（x-s）同号.,xs时ds/dx 0s,xs时ds/dx 0s

10、,x=s时ds/dx=0,s达到最小值.,x,啤酒杯重心模型二,s1=x/2,s2=1/2,s（x）,s3=0,考虑空杯底面质量w3,底面厚度杯子高度,力矩平衡,s1=x/2,s2=1/2,a=w2/w1,b=w3/w1,b=0时与模型一相同.,啤酒杯重心模型二,a=w2/w1 b=w3/w1,=s（x）,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,与模型一 a=0.3时 x=0.3245比较,设侧壁和底面的厚度和材质相同,侧壁高度h,底面直径 d,h=2d,小结与评注,对于一个饶有生活情趣的现象建立数学模型：,对杯子作适当的简化假设.,用基本物理知识构造优化模型.,用导数、极限、作图等方法给出求解

11、结果.,对结果作数学分析并给予实际解释.,啤酒杯重心模型二,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,啤酒杯重心模型一,既在意料之外又在情理之中的结果.,函数s=s（x）的最小点x*是不动点，即x*=s（x*）,有趣的现象:只要啤酒杯是旋转体（如圆台或球台）,上述结果就成立！,旋转体侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而成.,小结与评注,3.4 铅球掷远,铅球掷远起源于14世纪欧洲炮兵推掷炮弹的游戏和比赛.,男子铅球早在1896年第1届奥运会上就被列为比赛项目.,影响投掷距离的因素：,找出最佳出手角度.,定量分析投掷距离与这些因素的关系.,研究这些因素的微小改变对投掷距离的影响.,常识判断,初始速度,出手角

12、度,出手高度,问题分析,x,男子铅球直径11至13cm,重量为16磅（合7.26kg）.,在短暂的飞行中所受的阻力可以忽略.,将铅球视为一个质点，以一定的初始速度和出手角度投出后，在重力作用下作斜抛运动.,影响投掷距离的因素：,初始速度v,出手角度,出手高度h,模型一,不考虑铅球出手高度,初始速度v与x轴的夹角,g 重力加速度,t=0时铅球从坐标原点O投出.,s 投掷距离,斜抛运动的基本定律,模型一,出手角度=/4时,最佳出手角度/4与初始速度v无关.,“物体以45度角抛出的距离最远”,对任何出手角度，投掷距离s与v2成正比.,初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加.,结果分析,投掷距离 最大

13、.,模型二,铅球出手高度为h,t=0时铅球从（0,h）投出,h=0 时与模型一 相同.,模型二,直接用 求最佳出手角度计算太繁.,最佳出手角度,最远投掷距离,模型二,最佳出手角度,最远投掷距离,最佳出手角度/4,大致上 s v2 s h1/2,提高v对s的增加远比提高h有效.,v,h,模型二的最佳出手角度及最远投掷距离,h身高+20cm,v 810m/s（普通人）v 1013m/s（运动员）,最佳出手角度约400,模型二s比模型一约增2m.,正是一个出手高度h.,敏感性分析,v,h的微小改变对s的影响,模型一,数值计算,v提高5%,=1.1025s,s增加约10%,变化5%,45042.750

14、（47.250）,s仅减少约0.3%,模型一,理论分析,v/v v的相对微小改变,s/s s的相对微小改变,v dv,s ds,=42.750,敏感性分析,v,h的微小改变对s的影响,/的相对微小改变,d,v的微小改变对s的影响比大得多.,微分法,s增加0.2m（1.5%）,s提高2m以上（15%）,模型二,数值计算,h增加0.2m（10%）,v提高1m/s（10%）,模型二,理论分析,v=12m/s，h=2.0m,v的微小改变对s的影响比h大得多.,敏感性分析是数学建模的重要环节.,对于模型y=f（x）,x通常难以控制到设定的数值x0.,微分法,g（x0）越大,x改变dx/x引起y改变dy/y越大（x=x0附近）.