1、迎风格式, (10-5)总是稳定的。当时,式(10-5)与(10-2)相当,当时,式(10-5)与(10-3)相当。对于一维Euler方程 (10-6) 补充状态方程, (10-7)对于方程(10-6),若设则方程(10-6)成为 (10-8)如何分裂A?两个步骤:1,求出A2,求出A的特征值。可将矢通量F写成矢恒量U的显函数形式,即第1个步骤: (10-9)(10-10)第2个步骤,求出A的特征值。对A作相似变换 (10-11)对可以进行分裂,设 (10-12)其中,由式(10-11)可得, (10-13)将(10-12)代入(10-13)得 (10-14)设 于是式(10-14)成为从而完
2、成了第2个步骤,分裂了A,于是Euler方程(10-8)可写成迎风格式可写成 (10-16)这是非守恒型的迎风格式,并不常用。一对守恒型Euler方程采用矢通量分裂措施应当直接分裂Euler方程中的F,即对Euler方程(10-6)实施迎风格式,这就是所谓矢通量分裂格式。定理:若函数恒等地满足下列关系则称是一个次的齐次函数。对于这种函数,只要它可微,就有上式称为齐次函数的Euler公式。在Euler方程中,F是关于U的一次齐次函数,即。根据微分学中齐次函数的Euler公式,有 (10-17)由于对A已进行了分裂(),于是有令 (10-18)于是,完成了对F的分裂Euler方程(10-6)成为矢
3、通量分裂格式可写为:归纳一下,分裂F的步骤:1求出A()2找到矩阵P,使3求出,(,)4求出,(,)5求得,(,)对于二维和三维情况,可以依次类推。例如,对于二维Euler方程,同样可进行矢通量分裂,即于是,Euler方程就成为那么矢通量分裂格式可写成:二矢通量分裂格式(采用矢通量分裂措施的差分格式)1一阶精度显式格式2空间精度为二阶的格式3MacCormack格式由于采用了一侧差分,破坏了格式的对称性,只有一阶精度。4AF格式(C-N格式)式中,下标b表示后差,f表示前差。对上式作近似分解:以上四个格式都是针对一维Euler方程的,可以直接推广到二维和三维。三人工粘性MC格式和AF格式由于采
4、用中心差分使其等价微分方程中的二阶导数项都消失了,引起非物理的数值振荡,所以必须人为地把这些消失了的二阶项再加到格式中去,这些二阶项称为人工粘性。对于MC格式(以一维Euler方程为例),有对于AF格式(以二维Euler方程为例), , 在以上格式中,、和均为待定系数。如何确定这些系数?四人工粘性与矢通量分裂格式的关系对于迁移方程迎风格式式中,代入上式,整理得,上式表明,迎风格式相当于Euler中心差分格式加上二阶粘性。 (10-19)简记 后差 前差 中心差则一阶精度矢通量分裂格式可写为: (10-20)我们已知 而 , (10-21)而 , (10-22)而 , (10-23)于是,将式(
5、10-23)代入式(10-22),有显然 ,令 于是 ,同理 ,代式(10-24)入式(10-21),有 , 于是(10-25)根据定义:代入式(10-25),得 (10-26)代入一阶精度矢通量分裂格式(10-20),得 (10-27)可见,一阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上二阶粘性。这是一条重要结论。另外,空间精度为二阶的矢通量分裂格式可写成 (10-28)一侧三点后差:一侧三点前差:同理可从(10-28)导出下面的式子 (10-29) (四点中心差分)由(10-29)可得到另一条重要结论:空间二阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上四阶粘性。五确定人工粘性的系数根据上述两条重要结论,可以确定MC格式和AF格式中的人工粘性系数、和。由(10-27)可知,应取一般用(谱半径)代替,于是就有同理可得, 而 由(10-29)可知,应取根据AF格式稳定性要求,不能取太大,一般取由于二阶人工粘性会降低格式的精度,因此只在激波区域(物理量变化剧烈的地方)加入;在光滑区,只需加入四阶粘性即可。因此可以引入一个非线性人工粘性:其中,
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