非线性迭代概论文档格式.docx

1、 本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。二、实验计划1.迭代序列与不动点 （1）实验程序 给定实数域上光滑的实值函数以及初值，定义数列 ， （2.2.1）称为的一个迭代序列。函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数的不动点。 对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序： Clearf fx_ :=

2、 （25*x - 85）/（x + 3）; （实验时需改变函数） Solvefx=x , x （求出函数的不动点） g1=Plotfx, x, -10, 20, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction - Identity; g2=Plotx, x, -10, 10, PlotStyle - RGBColor0, 1, 0, x0=5.5; r = ; r0=GraphicsRGBColor0, 0, 1, Linex0, 0, x0, x0; Fori = 1, i -1, 20, （PlotRange控制图形上下范围） $DisplayFu

3、nction x0=x0; xi_:=fxi-1; （定义序列） t=Tablexi,i,1,10/N ListPlott （散点图）观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？如果只需迭代次产生相应的序列，用下列Mathematica程序： Iteratef_,x0_,n_Integer:= Module t=,temp= x0,AppendTot,temp; Fori=1,i = n, i+,temp= ftemp; AppendTot,temp; t fx_:= （x+ 2/x）/2; Iteratef,0.7,10 （2）实验思路首先对函数研究不动点，需要 （1）对Plot中x,-10,

4、20可改为x,-50,50；对PlotRange中 -1,20可改为-50,50； （2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5，4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30； （3）对t=Tablexi,i,1,10/N中10分别改为100，200，500，1000； （4）对i AppendTopointlist, x0, 0; 20, i+, AppendTopointlist, v, fv; AppendTopointlist, fv, fv; v= fv; fv= 4

5、*v*（1 - v）; p2=ListPlotpointlist, PlotJoined - True, Showp1, p2, DisplayFunction -IterGeo2.6, 0.3将区间（0，4以某个步长离散化，对每个离散的值做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代值，而把点，显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum图。 Clearf, a, x; fa_, x_ := a*x*（1 - x）; x0 = 0.5; Do= 300, i+, x0 = fa, x0; Ifi 100, r = Appendr, a, x0 , a, 3.0, 4.0, 0.01; L

6、istPlotr 从极限分支点之后，Feigenbaum图显得很杂乱，似乎没有任何规律。实际上，对任何初始值做迭代都会得到同样的结果。这就是所谓的混沌现象。迄今为止，混沌并没有确切的数学定义，但它具有一些基本的特性，如对初值的敏感性以及某种无序性，由此产生类似于随机的现象。所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。这是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。在Logistic映射中，取，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l，运行下列程序，观察结果后回答问题：在迭代过程中它们逐渐分开吗？如果两

7、个初值之间的差的绝对值不超过0.01，0.001，结果会如何？由此得出，函数的迭代对初值是否敏感？其Mathematica程序： Sensitivityn_Integer, x01_, x02_ : pilist = , i, temp1=x01, temp2=x02, Fori=1, i True Sensitivity50, 0.1, 0.1001一个简单的、确定的二次选代可以产生非常复杂的、看似随机的行为。但是，混沌不等于随机。实际上，在混沌区域之内，蕴涵着许多有序的规律。这正验证了哲学上的名言：有序中包含了无序，无序中包含着有序。distribn_Integer,m_Integer,x

8、0_:Modulei,temp=x0,g1,f,k,c=Table0,i,m,Fori=1,i n,i+,temp=4*temp*（1-temp）; Iftemp 1,cm+,cFloortemp*m+1+; fk_:=GraphicsGrayLevel0.5,Rectanglek-0.5,0,k+0.5,ck; g1=Tablefk,k,1,m;Showg1,Axes True,PlotLabel-x0=0.4;n=100;m=20;x0=0.4;distribn,m,x0 另一个说明混沌不是随机的事实是，混沌区域有许多有序的窗口。将这些窗口放大可以看到令人振奋的自相似现象，同时还有许多周期

9、轨道。在 Feigenbaum图的右部，你应当能看到一个由三条曲线穿过的空白带，它是一个“周期为 3的窗口”。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口跟上题的第二问中的周期轨道有什么关系？ 运行下列程序，听一听混沌的声音 PlayChaosn_Integer, x0_ : t = , i, temp = x0,= n, i+, temp = 4*temp*（1 - temp）; AppendTot, Floortemp*100; ListPlayt, PlayRange - 0, 100, SampleRate - 5就Logistic映射，对a=0.5，1，1.2，2

10、，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x0= 0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果。观察结果就是看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与a的关系！对a的定义范围0，4分成若干个区间，就初值（属于（0，1）时）看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？可用散点图认识。 对Logistic映射讨论下列问题： 1）找出一个值，它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？你能找到多个值具有这种性质吗？ 2）你能对任意的找到一个值，使得它对应的迭代具有周期点吗？哪些值能给出周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值的选取？ 3）如果某个值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？ 4）试着从理论上分析：的不动点是什么？对哪些值迭代收敛到每个不动点？哪些初值收敛到不动点？哪些初值导致发散？对周期点做类似的分析。 研究锯齿函数和帐篷函数的混沌行为时，分别取x0=0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序（改变函数，要修改函数的定义方式），研究数列及蛛网图中的轨道。3. 方程求根对于代数方程g（x）=0，其根可用下列程序求得 Solveg（x）= = 0 , x也可用下列程序求得 gx_:=expr Plotgx,x,a,b FindRootg（x）= = 0 , x,x0