1、 按整数、分数的关系分类: 按正数、负数、零的关系分类:三、数轴:1.数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。注意:数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;数轴有三要素:原点、正方向、单位长度三者缺一不可;原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定,都是根据实际需要而定的。2.数轴的画法:画一条水平的直线;在直线的适当位置选取一点作为原点,并用0表示这点;确定向右为正方向,用箭头表示出来;选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次为1,2,3,;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次为1,2,3,。如图1所示。四、相反数:只有符号不同的两个数互为相反
2、数。规定零的相反数是零。从数轴上看,表示互为相反数的两个数,分别位于原点的两侧,且与原点的距离相等,如图1,3与3互为相反数。相反数是成对出现的,不能单独存在,如+2与2互为相反数,说明+2的相反数是2,2的相反数是+2,单独一个数不能说相反数;“只有”的含义说明像+5与3这样的两个数不是互为相反数。五、绝对值:绝对值的几何定义:在数轴上,表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值,记作|a|。绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.绝对值的求法:先判断这个数是正数、负数、还是零,再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号;绝对值的非负性:无论是
3、绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质非负性。也就是说,任何一个有理数的绝对值都是非负数,即,。六、非负数若数a0,则称a为非负数。非负数的性质:任何非负数的和仍为非负数;如果几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0。七、倒数乘积为1的两个有理数互为倒数。倒数的求法:求一个数的倒数,直接可写成这个数分之一;求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒即可;求一个带分数的倒数,应先将带分数化成假分数,再将分子、分母颠倒;求一个小数的倒数,应先将小数化成分数,然后再求倒数。只有零没有倒数,其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数,负数的倒数为负数。八、有理数大小的比较:1.利用数
4、轴比较大小:数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。于是:正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数。2任意有理数大小的比较法则:正数都大于零,负数都小于零,正数大于 一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是:首先分别求出两个负数的绝对值;再比较两个绝对值的大小;最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出正确判断。九、基本运算1、有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把其绝对值相加;异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得零;一个数与零相加,仍得这个数。2、有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的
5、相反数。3、有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把其绝对值相乘;任何数与零相乘,都得零;几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数个时,积为负;当负因数的个数为偶数个时,积为正。4、有理数的除法法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把其绝对值相除;零除以任何一个不为零的数,都得零;除以一个数等于乘以这个数的倒数(零不能作除数)。十、乘方乘方的定义:求几个相同因数积的运算。乘方的结果叫做幂。在an中a叫做底数,n叫做指数。读作a的n次方,看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。根据乘方的意义转化为乘方,再根据乘法法则进行计算;根据乘方的性质,先判断
6、幂的符号,再计算幂的绝对值。十一、有理数运算律加法的交换律 a+b=b+a;加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;存在数0,使 0+a=a+0=a;对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;乘法的交换律 ab=ba;乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;分配律 a(b+c)=ab+ac;存在乘法的单位元10,使得对任意有理数a,1a=a;对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。0a0 文字解释:一个数乘0还于0。十二、有理数的运算顺序先乘方、开方,后乘除,最后加减;有括号时,先算括号里面的;同级运算按从左至右的顺序
7、进行,同时注意运算律的灵活应用。说明:加减是一级运算,乘除是二级运算,乘方、开方是三级运算。十三、近似数、有效数字与科学计数法近似数:一个与实际数比较接近的数,称为近似数。有效数字:对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字开始,草最末一个数字止,都是这个近似数的有效数字。科学计数法:把一个数记作a10n形式(其中1 a 10,n为整数。)整式的加减知识点一、代数式与有理式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。2、整式和分式统称为有理式。3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。二、整式和分式 1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不
8、含有字母的有理式叫做整式。2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。三、单项式与多项式 1、没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积-包括单独的一个数或字母) 2、几个单项式的和,叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。4、单独一个数或
9、一个字母也是单项式。5、只含有字母因式的单项式的系数是1或1。6、单独的一个数字是单项式,它的系数是它本身。7、单独的一个非零常数的次数是0。8、单项式中只能含有乘法或乘方运算,而不能含有加、减等其他运算。9、单项式的系数包括它前面的符号。10、单项式的系数是带分数时,应化成假分数。11、单项式的系数是1或1时,通常省略数字“1”。12、单项式的次数仅与字母有关,与单项式的系数无关。多项式1、几个单项式的和叫做多项式。2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。3、多项式中不含字母的项叫做常数项。4、一个多项式有几项,就叫做几项式。5、多项式的每一项都包括项前面的符号。6、多项式没有系数的概念,
10、但有次数的概念。7、多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。整式1、单项式和多项式统称为整式。2、单项式或多项式都是整式。3、整式不一定是单项式。4、整式不一定是多项式。5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。四、整式的加减1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分配率。去括号法则:如果括号前是“十”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号;如果括号前是“一”号,把括号和它前面的“一”号去掉,括号里各项都改变符号。2、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项:1).合并同类项的概念:把多项式中的同
11、类项合并成一项叫做合并同类项。2).合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。3).合并同类项步骤: a准确的找出同类项。b逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。c写出合并后的结果。4).在掌握合并同类项时注意:a.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.b.不要漏掉不能合并的项。c.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。合并同类项的关键是正确判断同类项。3、几个整式相加减的一般步骤: 1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。 2)按去括号法则去括号。 3)合并同类项。4、代
12、数式求值的一般步骤: (1)代数式化简 (2)代入计算 (3)对于某些特殊的代数式,可采用“整体代入”进行计算。五、同底数幂的乘法1、n个相同因式(或因数)a相乘,记作an,读作a的n次方(幂),其中a为底数,n为指数,an的结果叫做幂。2、底数相同的幂叫做同底数幂。3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:aman=am+n。4、此法则也可以逆用,即:am+n = aman。5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。六、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。(am)n表示n个am相乘。2、幂的乘方运算法则:幂的乘方,底
13、数不变,指数相乘。(am)n =amn。3、此法则也可以逆用,即:amn =(am)n=(an)m。七、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。2、积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。即(ab)n=anbn。anbn =(ab)n。八、同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:aman=am-n(a0)。2、此法则也可以逆用,即:am-n = aman(a0)。九、零指数幂1、零指数幂的意义:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即:a0=1(a0)。十、负指数幂1、任何不等于零的数的p次幂,等于这个数的p次幂的倒数。注:在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。十一、整式的乘法(一)单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。2、系数相乘时,注意符号。3、相同字母的幂相乘时,底数不变,指数相加。4、对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数一起写在积里,作为积
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