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1、,随机过程X（t）在四种不同情况下的意义：,（1）当t,都是可变量时，是一个时间函数族；,（2）当t是可变量，固定时，是一个确定的时间函数；,（3）当t固定，是可变量时，是一个随机变量,（4）当t固定，固定时，是一个确定值。,2 随机过程的分类,（一）按照时间和状态是连续还是离散来分类：,（1）连续型随机过程：X（t）对于任意的tT，X（t）都是连续型随机变量，也就是时间和状态都是连续的情况。,（2）离散型随机过程；X（t）对任意的tT，X（t）都是离散型随机变量，也就是时间连续，状态离散的情况。,（3）连续随机序列，随机过程X（t）在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，也就是时间离散，状态连

2、续的情况，,（4）离散型随机序列：相应于时间和状态（随机变量）都是离散的情况。,2.2随机过程的统计特性,随机过程实际是依赖于时间t的一族随机变量，因此，可以用多维随机变量的理论来描述随机过程的统计特性。,一、随机过程的概率分布,1.一维概率分布,对于任意的时刻t，X（t）是一个随机变量，它的一维分布函数定义为：,随机过程的一维概率分布,若 的一阶偏导数存在，则定义,为随机过程X（t）的一维概率密度。,随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有普通随机变量的分布函数和概率密度的各种性质，其差别在于前者不仅是x的函数还是t的函数而已。,2.二维概率分布和n维概率分布,对于随机过程X（t），在任意两

3、个时刻t1和t2可得到两个随机变量X（t1）和X（t2），可构成二维随机变量X（t1）,X（t2），它的二维分布函数,称为随机过程X（t）的二维概率分布函数。,若,对x1,x2的偏导数存在，则定义,为随机过程X（t）的二维概率密度。,用同样的方法，我们可以引入随机过程X（t）的n维分布函数和n维概率密度:,显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机过程的特性也愈趋完善。,两个随机过程X（t）和Y（t）的联合分布函数与联合概率密度函数的定义：,若两个随机过程X（t）和Y（t）相互独立，则对任意的n和m有,一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即X（t1）和X（t2）互相独立,二 随机过程的数字

4、特征,随机过程常用到的数字特征有数学期望、方差、相关函数等。它们是由随机变量的数字特征推广而来的，但是一般不再是确定的数值，而是确定的时间函数。,1数学期望,它表示随机过程所有样本函数的统计平均函数。如果讨论的随机过程是接收机输出端的噪声电压，这时数学 期望mX（t）就是此噪声电压的瞬时统计平均值。,2均方值与方差,随机变量X（t）的二阶原点矩记作:,称为随机过程X（t）的均方值,二阶中心矩记X2（t）或DX（t）,称为随机过程X（t）的方差。,它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即,它表示随机过程在t时刻对于均值mX（t）的偏离程度。,方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望mX（t）

5、的分散程度。若X（t）表示噪声电压，那么均方值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均值，而方差X2（t）则表示瞬时交流功率的统计平均值。,3自相关函数,数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系,它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程任意两个不同时刻状态之间联系。,自相关函数,设X（t1）和X（t2）是随机过程X（t）在t1和t2二个任意时刻的状态，pX（x1,x2;t1,t2）是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为X（t）的自相关函数，简称相关函数,若取 t1=

6、t2=t,则有,此时自相关函数即退化为均方值。,协方差函数,任意两个不同时刻、两个随机变量的中心矩定义为协方差函数或中心化自相关函数,两者有下列关系：,若取t1=t2=t则 Cx（t1，t2）退化为方差。，,随机过程两个时刻状态间的关系,若对于t1和t2有CX（t1,t2）=0,或 则称随机过程在t1和t2时刻的状态X（t1）和X（t2）不相关。,若RX（t1,t2）=0，则称X（t1）和X（t2）是相互正交的。,若,则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。,2自相关函数和自协方差函数是用来衡量同一随机过程在任意两个时刻上的随机变量的相关程度。,总结：1数学期望和方差描述了随机过程在各

7、个孤立时刻的特征，但没有反映随机过程不同时刻之间的内在联系。,4互相关函数,设有两个随机过程X（t）和Y（t），它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X（t1）和Y（t2），则随机过程X（t）和Y（t）的互相关函数定义为,类似地，定义两个随机过程的互协方差函数为,且有,5.统计独立、不相关和正交,（1）如果对任意的，有,则称X（t）和Y（t）之间是互相统计独立的。,则称X（t）和Y（t）之间互不相关。,（2）如果两个过程X（t）和Y（t）的互协方差函数为零，即对任意t1，t2有,或,如果两个过程互相独立，则必不相关，反之则不一定。,（3）若两个过程X（t）和Y（t）之间的互相关函数等于零，即

8、对任意t1，t2有,则称该两过程之间正交，而且正交也不一定不相关，除非它们是零均值的。,三、随机过程的特征函数,对某一固定时刻t,随机变量X（t）的特征函数称作随机过程X（t）的一维特征函数：,同理可得二维、三维以至n维特征函数,随机过程的特征函数,根据特征函数与随机变量各阶矩的关系式，由随机过程的二维特征函数可求出随机过程的自相关函数,2.3随机序列及其统计特性,将连续随机过程X（t）以为间隔tS等间隔抽样（记录），即得随机序列，表为,对于固定的j，Xj为一随机变量，一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量，即,随机序列,对Xj的统计特性描述，可以采用N维分布函数与N维密度函数的全面描

9、述方法外，也可用数字特征的描述方法，引入均值向量、自相关矩阵与协方差矩阵的概念。,1、定义均值向量为：,随机序列,1、自相关矩阵,矩阵元素为,随机序列,同理得协方差矩阵：,随机序列,容易证明，协方差阵与自相关阵之间有如下关系，即,自相关阵有以下两个性质：,性质1：对称性，即,性质2：半正定性，即对任意N维（非随机）向量F，下式成立,独立随机过程,对于任意n个时刻t1t2tn，如果随机变量X（t1）,X（t2）X（tn）相互独立，即,则称X（t）为独立随机过程,均匀分布的独立随机序列在随机信号的理论分析与实验研究中具有十分重要的价值。,MATLAB软件环境，采用函数rand、randn、norm

10、r和 random即可生成满足各种需要的近似的独立随机序列。,3.1 平稳随机过程及其数字特征,平稳随机过程在通信等应用领域中占有重要地位。其重要性来自两个方面：1.在实际应用中，特别在通信中所遇到的过程大多属于或很接近平稳随机过程；2.平稳随机过程可以用它的一维、二维统计特征很好地描述。,3.1 平稳随机过程及其数字特征,一、平稳随机过程的基本概念,1严平稳随机过程,一个随机过程X（t）,如果它的n维概率密度（或n维分布函数）不随时间起点选择的不同而改变，则称X（t）是严平稳随机过程。,该式说明，平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。或者说，整个过程的统计特性不随时间的推移而变化。,

11、严平稳随机过程,平稳随机过程的n维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在其一，二维概率密度及数字特征上具有以下性质：,（1）若X（t）为平稳过程,则它的一维概率密度与时间无关。,所以与一维分布有关的数字特征均为常数。,（2）平稳过程X（t）的二维概率密度只与t1、t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。,所以与二维分布有关的数字特征仅是的函数，而与t1,t2的本身取值无关,当=0 时，有,2宽平稳随机过程,若随机过程 满足,则称X（t）为宽平稳过程（或称广义平稳过程）,严平稳过程只要均方值有界，就是广义平稳的，但反之则不一定。,两个随机过程平稳相依,当我们同时考虑两个平稳过程X（t）和Y（

12、t）时，若它们的互相关函数仅是单变量 的函数，即,则称X（t）和Y（t）宽平稳相依，或称这两个随机过程是联合宽平稳的。,两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化、与时间起点无关，则称这两个随机过程是（严）联合平稳的，或（严）平稳相依的。,二、各态历经（遍历）随机过程,在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。能否找到更简单的方法代替上述方法呢?,各态历经性过程的各样本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态,因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分

13、地代表整个随机过程的特性。,各态历经过程,定义 设X（t）是一个平稳过程,（1）若,以概率1成立，则称随机过程X（t）的均值具有各态历经性。,（2）若,以概率1成立，则称X（t）的自相关函数具有各态历经性。,式中,分别称作X（t）的时间均值和时间自相关函数。,各态历经过程,若X（t）的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X（t）是宽各态历经过程。,对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便可得到其数字特征。,若X（t）的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平均特性以概率为一相等,则称X（t）为严遍历过程或窄义遍历过程.本章仅限于研究宽遍历过程.如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过程.不难看

14、出,遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。,各态历经过程,（3）若,以概率1成立，则称X（t）的分布函数具有各态历经性。式中,各态历经过程,在电子工程中，若各态历经过程X（t）代表的噪声电压或电流，则其一、二阶矩函数有着明确的物理意义。,噪声电压（或电流）的均值实际就是它的直流分量,RX（0）代表噪声电压（或电流）消耗在1欧姆电阻上的总平均功率,方差代表噪声电压（或电流）消耗在1欧姆电阻上的交流平均功率，,3.2平稳过程相关函数的性质,性质1：RX（）是偶函数，即满足,性质2：,证：任何正的随机函数的数学期望恒为非负值，即,证：,同理协方差函数：,平稳过程相关函数的性质,对于平稳过程，有,对于中心化自相关函数（或协方差函数），不难得到同样的结论：,平稳过程相关函数的性质,性质3：周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且与过程的周期相同。,若平稳过程X（t）满足条件X（t）=X（t+T），则称它为周期平稳过程，其中T为过程周期。,应用：提取信号周期,平稳过程相关函数的性质,性质3扩展：如果随机过程含有周期分量，那么平稳过程的自相关函数也含有周期分量，且周期相同。,例：,为（0，2）上均匀分布，N（t）与 统计独立,可见自相关函数中也含有周期分量。,平稳过程相关函数的性质,性质4：平稳过程的均方值可以由自相关函数令=0得到。RX（0）代表了平稳过程的“总