1、一、已知待证直线经过圆上一点,那么只需证明待证直线与过圆上此点的直径(或半径)垂直;二、未知待证直线与过圆有交点,则可过圆心作直线的垂线,再证垂线段长等于半径。,F,B,.O,C,A,如上图,ABC中A=900,AB=3,BC=4,试求ABC内切圆的半径,例3:如图,在ABC 中,ACB=900,O是它的内切圆,E、D是切点,已知BOC=1050,O的半径是1,求AE的长。,A,B,C,D,E,O.,例4如图,P经过坐标原点O且与两坐标轴的正半轴交于点A,B两点,点A的坐标为(1,0),C为P上一点,且在第二象限内,AC交y轴于点D,若BC=CO=OA,以直线AB为对称轴,对 ABC作轴对称变
2、换,点C的对应点为E。(1)求点B,点D的坐标。(2)判断四边形A0BE是哪种特殊四边形?并求出点E的坐标。,P,O,E,D,C,B,A(1,0),例4如图,P经过坐标原点O且与两坐标轴的正半轴交于点A,B两点,点A的坐标为(1,0),C为P上一点,且在第二象限内,AC交y轴于点D,若BC=CO=OA,以直线AB为对称轴,对 ABC作轴对称变换,点C的对应点为E。,P,O,E,D,C,B,A(1,0),(3)求以点D为顶点,且经过点E的抛物线的函数解析式。,例4如图,P经过坐标原点O且与两坐标轴的正半轴交于点A,B两点,点A的坐标为(1,0),C为P上一点,且在第二象限内,AC交y轴于点D,若
3、BC=CO=OA,以直线AB为对称轴,对 ABC作轴对称变换,点C的对应点为E。,P,O,E,D,C,B,A(1,0),(4)求出点C的坐标,判断点C是否落在(3)中的抛物线上?,F,3.施工工地的水平地面上,有三根外径都是1m的水泥管,两两相切地堆放在一起,则其最高点到地面的距离是,4.三个半径为 的圆两两外切,且ABC的每一边都与其中两个圆相切,那么ABC的周长_.,B,A,C,例:如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米,(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B、C、D与圆A的位置关系如何?,(B在圆上,D在圆外,C在圆外),(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B
4、、C、D与圆A的位置关系如何?,(B在圆内,D在圆上,C在圆外),(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B、C、D与圆A的位置关系如何?,(B在圆内,D在圆内,C在圆上),2cm,3cm,画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.,O,思考,例2 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),则AE=x(cm),CD=CE=AC-AE=13-x BD=BF=AB-AF=9-x,由 BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14,解得 x=
5、4,AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).,记忆:,1.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,4.如图,已知等边三角形ABC中,边长为 6cm,求它的外接圆半径。,5.如图,等腰ABC中,求外接圆的半径。,例:求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于 或等于60,已知:ABC求证:ABC中至少有一个内角小于或等于60,证明:假设ABC中没有一个内角小于或等于60,即A60,B60,C60,于是ABC606060180,与三角形的内角和等于180矛盾所以ABC中至少有一个内角小于或等于60。,C,C,B,1、如果扇形的圆心角是20,那么这个扇形的面积等
6、于这个扇形所在圆的面积的_;2、扇形的面积是它所在圆的面积的,这个扇形的圆心角的度数是_;3、扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的弧长是_.,答案:,240,,小试牛刀,例题讲解,如图23.3.5,圆心角为60的扇形的半径为10厘米,求这个扇形的面积和周长(3.14),=52.33(平方厘米);,扇形的周长为,=30.47(厘米)。,解:因为n60,r10厘米,所以扇形面积为,下面是圆弧形桥拱,其每拱的跨度为40m,拱形的半径为29m,求拱形的高.,转化为数学模型为:有一圆弧形桥拱,拱的跨度AB=40m,拱形的半径R=29m,求拱形的高.,在直角三角形BOD中:,OD2=OB2-BD2,,
7、解:如图:由垂径定理得:BD=,=20m,OD2=292 202,,OD=21 m,所以拱形的高CD=29-21=8m,2 两圆的半径之比为5:3,当两圆相切时,圆心距为8cm,求两圆的半径?设大圆的半径为5x,小圆的半径为3x两圆外切时:5x+3x=8 得x=1 两圆半径分别为5cm和3cm,解:设P的半径为R(1)若O与P外切,则 OP=5+R=8 R=3 cm,(2)若O与P内切,则 OP=R-5=8,R=13 cm所以P的半径为3cm或13cm,.,.,P,O,1.如图O的半径为5cm,点P是O外一点,OP=8cm。若以P为圆心作P与O相切,求P的半径?,例题,两.圆内切时:5x-3x
8、=8 得x=4 两圆半径分别为20cm和12cm,这是一块铁板,上面有A、B、C三个点,经测量,AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,以各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半径。,答案:4cm 9cm 5cm,思考:圆心A到X轴、Y轴的距离各是多少?,例题1:,.A,O,已知A的直径为6,点A的坐标为(-3,-4),则A与X轴的位置关系是_,A与Y轴的位置关系是_。,B,C,4,3,相离,相切,解:过C点作CDAB,垂足为D,AB=5,34=5CD,在RtABC中,C=90,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆。,想一想?,当r满足_ 时,C与线段AB只有一个公共点.
9、,r=2.4cm,B,C,A,D,4,5,3,d=2.4cm,或3cmr4cm,三、当堂训练:1、正方形ABCD的边长为a,以A为圆心,a为半径作圆,则直线BD与A的位置关系是什么?2、如图,公路MN和PQ在P处交汇,且QPN=30,点A处有一所中学,AP=160米,一拖拉机从点P处沿公路MN行驶,假设拖拉机行使时,周围100米以内会受到噪音的影响,已知拖拉机的速度为18千米时,那么学校会受到影响吗?如果会,受到影响的时间多长?,例1有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求 地基的周长和面积(精确到0.1平方米).,.,O,B,C,r,R,P,3、课堂练习,掌握新知,1、要拧开一个边长为4
10、cm的螺帽,扳手张开的开口b至少要多少?,(5)有若干个等圆外切,正好在围成的空隙中可以作一个同样大小的圆与这若干个圆外切,则这若干个圆的个数是个。,填空题:,6,A,B,O,C,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在C内,点B在C外,求A的半径r的取值范围。,例1、,如图,在ABC中,BAC90,ABAC,A的半径为1,若点O在BC上运动(与点B、C不重合),设BOx,AOC的面积为y。(1)求y关于x的函数解析式,写出定义域。(2)以O为圆心,BO为半径作O与A相切时,求AOC的面积。,例2、,弓形的弦长为6cm,弓形的高为2cm,则这弓形所在的圆
11、的半径为.,3、已知:如图,O 中,AB为 弦,C 为 弧AB 的中点,OC交AB 于D,AB=6cm,CD=1cm.求O 的半径OA.,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,已知:AB和CD是O内的两条平行弦,AB=6cm,CD=8cm,O的半径为5cm,,思考题:,(1)请根据题意画出符合条件的图形,(2)求出AB、与CD间的距离。,(1),(2),例1:船能过拱桥吗,.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥
12、吗?,相信自己能独立完成解答.,例2:如图,圆O的弦AB8,DC2,直径CEAB于D,求半径OC的长。,垂径,例3:如图,已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G,AECD于E,BFCD于F,且圆O的半径为 10,CD=16,求AE-BF的长。,练习3:如图,CD为圆O的直径,弦AB交CD于E,CEB=30,DE=9,CE=3,求弦AB的长。,挑战自我画一画,3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,垂径定理的应用,例1 如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为
13、F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,老师提示:注意闪烁的三角形的特点.,船能过拱桥吗,2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?,相信自己能独立完成解答.,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中,由勾股定理,得,解得 R3.9(m).,在RtONH中,由勾股定理,得,此货船能顺利通过这座拱
14、桥.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.,垂径定理的逆应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.,D,C,基础训练,1.已知弧长为4cm,它所对的圆心角为120,那么它所对的弦长为(),2.在O中,所对的圆心角为60,且弦AB=5cm,则 的长为(),C,A,3.如图,在扇形OAB中,AOB=90,已以AB为直径画半圆,则阴影部分面积是()A.大于SAOB B.等于S AOB C.小于S AOB D.不能确定与S AOB的关系,4.如图,正方形的
15、边长为2,以边长为直径在正方形内画半圆,则阴影部分面积是()A.-4 B.4-C.-2 D.4-/4,B,B,5.一个形如圆锥的冰淇淋纸筒,其底面直径为cm,母线长cm,则它的侧面积是().66.30.28.15,6.在半径为6cm的圆中,120的圆心角所对的弧长为.,7.扇形半径为12,面积为9,它的圆心角等于 度,8.已知扇形的面积为24,弧长为cm,则扇形的半径是cm,圆心角是度,9.已知扇形的面积是12,半径是8cm,则扇形周长是,10.圆锥的底面半径是1cm,母线是2cm,则高是 cm,侧面积是,全面积是,D,4cm,22.5,6,240,19,2,3,2、如图,把RtABC的斜边放在直线l上,按顺时针方向在l上转动次,使它转到ABC的位置.设BC=1,AC=求(1)点A所经过的路线长.(2)点A所经过的路线与直线l所围成的面积,3、如图,已知扇AOB,AOB=90,OA=OB=4,以OA为直径作半圆M,作MPOB交AB于P,交M于点Q,求阴影部分面积.,4、如图,在中,弦cm,圆周角求阴影部分面积,5、如图:AB是圆O的直径,弦CD/AB,圆周角CAB等于30度,AB=2cm,求图中阴影部分的面积?,6、如图,矩形ABCD中,AB=1,B
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