1、 1, 0nN-1 0, 其它n (1.2.8) 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时,R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示,如下式: RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9) 4. 实指数序列 x(n)=anu(n), a为实数 如果|a|1,则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。 5. 正弦序列 x(n)=sin(n) 式中称为正弦序列的数字域频率,单位是弧度,它表示序列变化的速率,或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t)采样得到,那么 xa(t)=sin(t) xa (t)|t=nT=sin(nT) 因为在数
2、值上,序列值与采样信号值相等,因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 =T (1.2.10) (1.2.10)式具有普遍意义,它表示凡是由模拟信号采样得到的序列,模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数,也可以表示成下式: 6. 复指数序列 x(n)=e(+j0)n 式中0为数字域频率,设=0,用极坐标和实部虚部表示如下式: x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)+jsin(0n) 由于n取整数,下面等式成立: e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2 7. 周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N,使下面等式成立: x(n)=x(
3、n+N), -唴n0时称为x(n)的延时序列;当n0 0时,序列右移;n0时,序列左移; 将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后,再相加。 按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。 例1.3.4设x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。 解 按照(1.3.7)式, 上式中矩形序列长度为4,求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限,R4(m)的非零值区间为:0m3, R4(n-m)的非零值区间为:0n-m3,其乘积值的非零区间,要求m同时满足下面两个不等式: 0m3 n-3mn 因此, 卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示,y(
4、n)用公式表示为 n+1 0n3 y(n)= 7-n 4n6 0 其它 卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加,这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M,线性卷积后的序列长度为N+M-1。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下: x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) (1.3.9) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10) 以上三个性质请自己证明。(1.3.8)式表示卷积服从交换律。(1.3.9)和(1.3.10)式分别
5、表示其结合律和分配律。 再考查(1.2.13)式,它也是一个线性卷积公式,它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,表示如下: 如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积,就相当于将序列本身移位n0(n0是整常数),如下式表示: 上式中只有当m=n-n0时,才可能有非零值,因此得到 y(n)=x(n- n0) x(n- n0)=x(n)*(n- n0) (1.3.12) 例1.3.5在图1.3.4中,h1(n)系统与h2(n)系统级联,设 x(n)=u(n) h1(n)=(n)-(n-4) h2(n)=anu(n), |a|1 求系统的输出y(n)。解先求第一级的输出m(n),再求y(n)。 m(n)=x(n)*h1(n) =u(n)*(n)-(n-4) =u(n)*(n)-u(n)*(n-4) =u(n)-u(n-4) =R4(n) y(n)=m(n)*h2(n) =R4(n)*anu(n) =anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3) =anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)还可以将y(n)用下式表示 y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+ u(n-3)
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