二维波动方程的有限差分法_精品文档Word格式.doc

1、设计其他指导教师曾芳成 绩是一实验目的通过该实验，要求学生掌握求解二维波动方程的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。二实验内容考虑如下的初值问题： （1）1在第三部分写出问题（1）三层显格式。2根据你写出的差分格式，编写有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。3取，分别将时刻的数值解画图显示。4. 该问题的解析解为，将四个时刻的数值解的误差画图显示，对数值结果进行简单的讨论。三实验原理、方法（算法）、步骤网格划分，故，。在内网点，利用二阶中心差商，对（1）建立差分格式： （2）整理得到： （3）其中，网比，局部截断误差为。考虑边界条件，差分格式为： （4）考虑初始条件，差分格式为： （5）

2、考虑初始条件，利用二阶差商近似： （6）设时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到： （7）将（6）得到的结果代入（7）中，整理得到： （8）综上（2）、（4）、（5）、（8）得到三层显格式的差分格式为： （9）其中，局部截断误差为。四实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlab%二维波动方程数值计算（关键：怎么运用i,j,k三个指标建立循环）clc;%可以将代码换成函数m文件h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长r=tau/h;%网比x,y,t=meshgrid（0:h:1,0:tau:1.4）;%空间网格剖分uu=cos（sqrt（2）*pi*t）.*sin（pi*

3、x）.*sin（pi*y）;%精确解计算%第一层网点计算u=sin（pi*x）.*sin（pi*y）;%初始条件u1=u（:,:,1）;%因为此时得到的u为11x11x141，故只取第一层%第二层网点计算for i=2:10 for j=2: u（i,j,2）=0.5*r2*（u（i+1,j,1）+u（i-1,j,1）+u（i,j+1,1）+u（i,j-1,1）+（1-2*r2）*u（i,j,1）; u（11,:,2）=0;u（:,11,2）=0; endendu2=u（:,2）;%第3-141层网点计算for k=2:140 for i=2: for j=2: u（i,j,k+1）=r2*（

4、u（i+1,j,k）+u（i-1,j,k）+u（i,j+1,k）+u（i,j-1,k）+（2-4*r2）*u（i,j,k）-u（i,j,k-1）; u（11,:,k+1）=0;,11,k+1）=0; end%结果分析与作图%wucha=abs（u-uu）;%求绝对误差矩阵11x11x141wucha1=wucha（:,11）;%计算t=0.1时刻的绝对误差矩阵11x11wucha2=wucha（:,51）;%计算t=0.5时刻的绝对误差矩阵11x11wucha3=wucha（:,101）;%计算t=1.0时刻的绝对误差矩阵11x11wucha4=wucha（:,141）;%计算t=1.4时刻的

5、绝对误差矩阵11x11x0=0:1;y0=0:%误差分析%作t=0.1时刻的绝对误差图subplot（2,2,1）;mesh（x0,y0,wucha1）;title（t=0.1时刻的绝对误差）;xlabel（x变量ylabel（y变量zlabel（绝对误差值%作t=0.5时刻的绝对误差图subplot（2,2,2）;mesh（x0,y0,wucha2）;t=0.5时刻的绝对误差%作t=1.0时刻的绝对误差图subplot（2,2,3）;mesh（x0,y0,wucha3）;t=1.0时刻的绝对误差%作t=1.4时刻的绝对误差图subplot（2,2,4）;mesh（x0,y0,wucha4）;

6、t=1.4时刻的绝对误差%四个时刻数值解、精确解%作t=0.1、0.5时刻的数值解与精确解mesh（x0,y0,u（:,11）;%作t=0.1时刻的数值解t=0.1时刻的数值解u值mesh（x0,y0,uu（:%作t=0.1时刻的精确解t=0.1时刻的精确解%作t=0.5时刻的数值解与精确解,51）;%作t=0.5时刻的数值解t=0.5时刻的数值解%作t=0.5时刻的精确解t=0.5时刻的精确解%分别复制粘贴运行%作t=1.0、1.4时刻的数值解与精确解,101）;%作t=1.0时刻的数值解t=1.0时刻的数值解%作t=1.0时刻的精确解t=1.0时刻的精确解%作t=1.4时刻的数值解与精确解

7、,141）;%作t=1.4时刻的数值解t=1.4时刻的数值解%作t=1.4时刻的精确解t=1.4时刻的精确解五实验结果及实例分析1、时刻的数值解与精确解图 图1 t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解 图2 t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解注：上两图为四个时刻的数值解与精确解，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。2、时刻的绝对误差图图3 四个时刻的绝对误差3、四个时刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4）的绝对误差表t=0.1时刻的绝对误差0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.000