高中数学第二章圆锥曲线与方程221椭圆及其标准方程1学案新人教A版选修21Word格式文档下载.docx

1、如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？答案 笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.梳理（1）我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.（2）椭圆的定义用集合语言叙述为：PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|.（3）2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件 结论 2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆 2a|F1F2|动点

2、的轨迹是线段 F1F2 2abc一定成立吗？答案 不一定，只需 ab，ac即可，b，c的大小关系不确定.思考 2 若两定点 A、B间的距离为 6，动点 P 到两定点的距离之和为 10，如何求出点 P 的轨迹方程？答案 以两定点的中点为坐标原点，以 AB所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（3，0）.设 P（x，y），依题意得|PA|PB|10，所以 10，即点 P 的轨迹方程为 1.梳理（1）椭圆标准方程的两种形式 焦点位置 标准方程 焦点 焦距 焦点在 x 轴上 1（ab0）F1（c，0），F2（c，0）2c 焦点在 y轴上 1（ab0）F1（0，c），F2（0，c）2c （

3、2）椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 1（ab0）1（ab0）焦点坐标 F1（c，0），F2（c，0）F1（0，c），F2（0，c）a，b，c的关系 b2a2c2 （3）根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2 项和 y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为 1的椭圆，焦点在 y轴上，而且可求出焦点坐标 F1（0，1），F2（0，1），焦距|F1F2|2.类型一 椭圆的定义解读 例 1 点 P（3，0）是圆 C：x2y26x550内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，判断圆心 M

4、 的轨迹.解 方程 x2y26x550化标准形式为：（x3）2y264，圆心为（3，0），半径 r8.因为动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，所以|MC|MP|r8，根据椭圆的定义，动点 M 到两定点 C，P 的距离之和为定值 86|CP|，所以动点 M 的轨迹是椭圆.引申探究 若将本例中圆 C 的方程改为：x2y26x0且点 P（3，0）为其外一定点，动圆M 与已知圆 C 相外切且过 P 点，求动圆圆心 M 的轨迹方程.解 设 M（x，y），据题，圆 C：（x3）2y29，圆心 C（3，0），半径 r3.由|MC|MP|r，故|MC|MP|r3，即 3，整理得 1（x0）.反思与感悟 椭圆

5、是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数（2a）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.跟踪训练 1 下列命题是真命题的是_.（将所有真命题的序号都填上）已知定点 F1（1，0），F2（1，0），则满足|PF1|PF2|的点 P 的轨迹为椭圆；已知定点 F1（2，0），F2（2，0），则满足|PF1|PF2|4的点 P 的轨迹为线段；到定点 F1（3，0），F2（3，0）的距离相等的点的轨迹为椭圆.答案 解析 b0）.依题意有 解得 由 ab0知不合题意，故舍去.当椭圆焦点在 y轴上时，可设椭圆的

6、标准方程为 1（ab0）.依题意有 解得 所以所求椭圆的标准方程为 1.方法二 设椭圆的方程为 mx2ny21（m0，n0，mn）.则 解得 所以所求椭圆的方程为 5x24y21，故椭圆的标准方程为 1.引申探究 求与椭圆 1有相同焦点，且过点（3，）的椭圆方程.解 据题可设其方程为 1（9），又椭圆过点（3，），将此点代入椭圆方程，得 11（21 舍去），故所求的椭圆方程为 1.反思与感悟（1）若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为 mx2ny21（mn，m0，n0）.（2）与椭圆 1（ab0）有公共焦点的椭圆方程为 1（ab0，b2），与椭

7、圆 1（ab0）有公共焦点的椭圆方程为 1（ab0，b2）.跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为 F1（4，0），F2（4，0），椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10；（2）椭圆过点（3，2），（5，1）；（3）椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）.解（1）设其标准方程为 1（ab0）.据题 2a10，c4，故 b2a2c29，所求椭圆的标准方程为 1.（2）设椭圆的一般方程为 Ax2By21（A0，B0，AB），则 解得 故所求椭圆的标准方程为 1.（3）设椭圆的标准方程为 1（ab0）.由 解得 所求椭圆的标准方程为 y2

8、1.命题角度 2 用定义法求椭圆的标准方程 例 3 已知一动圆 M 与圆 C1：（x3）2y21外切，与圆 C2：（x3）2y281内切，试求动圆圆心 M 的轨迹方程.解 据题 C1（3，0），r11，C2（3，0），r29，设 M（x，y），半径为 R，则|MC1|1R，|MC2|9R，故|MC1|MC2|10，据椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C1，C2为焦点的椭圆，且 a5，c3，故 b2a2c216.故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为 1.反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定 a，b 的值.跟

9、踪训练 3 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 和，过点 P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.解 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，不妨取|PF1|，|PF2|，由椭圆的定义，知 2a|PF1|PF2|2.即 a.由|PF1|PF2|知，PF2 垂直于长轴.在 RtPF2F1 中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2 ，b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y轴上，故所求的椭圆方程为 1或 1.类型三 椭圆中焦点三角形问题 例 4（1）已知 P 是椭圆 1上的一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，且F1PF230，

10、求F1PF2 的面积.（2）已知椭圆 1的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上.若|PF1|4，求F1PF2 的大小.解（1）由椭圆的标准方程，知 a，b2，c 1，|F1F2|2.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即 4（|PF1|PF2|）22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即 420（2）|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16（2）.|PF1|PF2|sinF1PF2 16（2）84.（2）由 1，知 a3，b，c，|PF2|2a|PF1|2，cos

11、F1PF2 ，F1PF2120.反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）来求解.跟踪训练 4（1）在椭圆 C：1（ab0）的焦点三角形 PF1F2 中，F1PF2，点 P 的坐标为（x0，y0），求证：PF1F2 的面积 c|y0|b2tan.证明|F1F2|y0|c|y0|.在PF1F2 中，根据椭圆

12、定义，得|PF1|PF2|2a.两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.根据余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 4c2.，得（1cos）|PF1|PF2|2b2，所以|PF1|PF2|.根据三角形的面积公式，得|PF1|PF2|sin sin b2.又因为 tan，所以 b2tan.（2）已知椭圆的方程为 1，椭圆上有一点 P 满足PF1F290（如图）.求PF1F2 的面积.解 由已知得 a2，b，所以 c 1.从而|F1F2|2c2.在PF1F2 中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|24.又由

13、椭圆定义知|PF1|PF2|2 24，所以|PF2|4|PF1|.从而有（4|PF1|）2|PF1|24.解得|PF1|.所以PF1F2 的面积 S|PF1|F1F2|2 ，即PF1F2 的面积是 .1.已知 A（5，0），B（5，0）.动点 C 满足|AC|BC|10，则点 C 的轨迹是（）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点 答案 C 解析 因为|AC|BC|10|AB|，所以点 C 的轨迹是线段 AB，故选 C.2.若方程 3x2ky21 表示焦点在 y轴上的椭圆，则 k的可能取值为（）A.1 B.3 C.0 D.2 答案 A 解析 当 k1时，原方程可化为 1，它表示焦点在 y轴上的椭

14、圆，其他选项不合题意.3.已知椭圆 C：1内有一点 M（2，3），F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P 为椭圆 C 上一点，则|PM|PF1|的最大值为_，最小值为_.答案 10 10 解析 由椭圆的定义，得|PF1|2a|PF2|，即|PF1|10|PF2|，所以|PF1|PM|10|PM|PF2|.由三角形中“两边之差小于第三边”可知，当 P，M，F2三点共线时，|PM|PF2|取得最大值|MF2|，最小值|MF2|.由椭圆的标准方程 1可得点 F2（3，0）.又|MF2|，所以|PF1|PM|取得最大值 10，最小值 10.4.椭圆 8x23y224的焦点坐标为_.答案（0，），（0，）

15、解析 据题知 1，它的焦点位于 y轴上，且 c，故两焦点分别为（0，），（0，）.5.求经过两点（2，），（1，）的椭圆的标准方程.解 方法一 若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1（ab0）.由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为 1.若焦点在 y轴上，设椭圆的标准方程为 1（ab0）.同理得 a24，b28，此时 a20，B0，AB）.将两点（2，），（1，）的坐标分别代入，得 解得 所以所求椭圆的标准方程为 1.1.椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a（2a|F1F2|）.在解题过程中将|PF1|PF2|看成一个整体，可简化运算.2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|MF2|2a（M为椭圆上的点，F1，F2 为椭圆的焦点），一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M（x0，y0）适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.40 分分钟课时作业钟课时作业 一、选择题 1.已知椭圆 1上一