1、3.2 模态(振型)迭加法设有n个自由度的系统,在外力的作用下,常常被激起较低阶的一部分模态(即振型),而绝大部分高阶模态被激起的分量很小,一般可忽略不计。例如,在地震载荷作用下,通常,只有最低的二阶,三阶模态起主要作用。所以,对于这样的一些问题,采用模态迭加法是有效的。设有式(3.1)的n阶动力方程,起主要作用的是其前q阶模态,通常取。按Ritz变换,则可将式(3.1)中的用前q个模态的线性组合来表示,即 其中,为结构的已知的保留主模态矩阵,而是维的模态基坐标矢量,它形成了一个q维的模态空间。它表示在中,各阶主模态所占有的成分的多少。 假定已用第二章所述的某一方法解出,再将式(3.2)代入(
2、3.1),并左乘以,可得 式中显然,式(3.3)是一个q阶的微分方程组。由于,所以,它比式(3.1)的n阶就小的多了,实现了降阶,因而也就容易求解多了。 若展开上述的的表达式,根据主模态(主振型)关于的表达式,根据主模态的(主振型)关于M的正交性质,可知所以,是一个对角阵。同理可知也是一个对角阵。然而,在一般的情况下,是一个非对角阵,即在模态空间中,系统的的阻尼一般是耦合的。因此,式(3.3)是一个完全解耦的动力学方程。但是,它是一个已降阶的q阶的动力方程,可使用后面即将介绍的直接积分法求解。 当系统的阻尼为比例阻尼时,即可以表示为则为对角阵。此外,若系统的阻尼是一般的的线性阻尼,并非比例阻尼
3、,但是只要结构的固有频率不相等,而且不十分接近,则可用舍去阵中的非对角元来实现的对角阵,也不会引起太大的误差。在上述两种情况下,可以获得对于模态坐标的完全解耦的动力学方程。即式(3.3)是q个独立的方程,每个方程只包含一个未知量,相互之间不耦合。因而式(3.3)可按单自由度的动力学方程写为或其中。式(3.6)可用直接积分法计算,或用Duhamel积分求得其解为式中,而,由初始条件得出的 与决定。 由于有阻尼的存在,由初始条件所激发的振动,随时间的增长而衰减以致消失。因此,常可不计式(3.7)中的第二项,即是由初始条件激发的自由衰减振动。计算出后,便可利用式(3.2),计算出物理坐标的响应。数学
4、计算步骤可归纳如下:第一步:根据结构的离散化模型,建立系统的以及,并进行结构的固有特性分析,即求解特征值问题求出前阶特征对,()第二步:形成模态阵,并建立模态基坐标下的动力方程其中,而。根据实验结果或经验数据确定各阶主振动中的比例阻尼。第三步:求解主模态基坐标的动力方程,有,其中,第四步:进行坐标变换后,求得动力响应3.3模态假设法上节所述的模态迭加法,是用系统的真实主模态组成的模态矩阵,再对系统的物理坐标进行模态坐标变换,从而在主模态空间中得到降阶并解耦的动力学方程,这样来实现简化计算。而这里提出的假设模态法,则是用一组假设模态矩阵,对系统的物理坐标进行模态坐标转换,从而在模态空间中得到一组
5、只降阶的动力学方程。若令假设模态矩阵为,而,进行坐标变换,即 (3.10)把它代入式(3.1),并左乘,则可得到降阶的动力学方程为 (3.11), , 。它们分别对应于假设模态坐标的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵与广义力列阵。因为矩阵中的各列都是假设模态,它们一般不具有正交性,所以,、和都不是对角阵。于是,方程(3.11)是不能解耦的方程组,但它却是比式(3.1)的阶数要低得多了。显然,对式(3.11)采用直接积分法求解,将比对式(3.1)求解要简便得多。这是假设模态法的优点。假设模态法的计算精度,很显然地是取决于假设模态阵中模态假设的好坏与质量。因此,应用假设模态法能否成功的关键在于确定出一个
6、适宜的假设模态矩阵。在第五章中,我们介绍了几种构造假设模态的方法。实际上,在2.9中介绍的Rayleigh-Ritz分析,可认为是一种假设模态法。它的作用,在于降低方程的阶数,简化计算。它的基本思想是,事先假定出若干近似的特征矢量,然后按照这些特征矢量的最佳线性组合,而算得前若干阶特征值的近似值。显然,运用这种方法时,其计算精度与事先假定的特征矢量的近似程度和数量有关。按照Ritz变换的思想,找到了近似的特征矢量后,即有 (3.12)求解如下的广义特征值问题,即 (3.13)和为原结构离散化之刚度阵和质量阵,它们都是阶方阵。求解式(3.13),得到个特征矢量,有再按照Ritz的变换,即式(3.
7、12),由特征矢量,可计算出矢量,即是 (3.14)现在用来表示此变换阵,它就是我们要构造的假设模态矩阵。3.4 中心差分法(显示法)现在开始讨论直接积分法,或称逐步积分法。前面讨论的模态迭加法,并非总是有效的。当刚度矩阵,或质量矩阵,或阻尼矩阵出现随时间变化时,或当外荷载激起的振型太多,需要计算的特征对太大时,就不宜于采用模态迭加法,在这些情况下,采用逐步积分法是适宜的。中心差分法就是其中的一种。这种方法的特点,是将动力方程在时间域上离散,化成对时间的差分格式,然后根据初始条件,利用直接积分法逐步求解出一系列时刻上的响应值。假定时,位移、速度和加速度分别为已知的,和。再将求解的时间区间划分为
8、个等分,即。我们要建立的积分格式就是从已知的,的解来计算下一个时间步的解。 在中心差分法中,是按中心差分将速度和加速度矢量离散化为 (3.15) (3.16)于是上面二式,就将时刻的速度和加速度用相邻时刻的位移来表示了。考虑在时刻的动力方程,有 (3.17)将式(3.15)和(3.16)代入式(3.17)中,得到(3.18)这样,上式就化为用相邻时刻的位移表示的代数方程组。由它可解出。又由于它是利用时刻的方程解得的,所以,它称为显示积分。并且,还注意到,在求解时,需要用,的值。于是,在计算开始时,即时,要计算的值、就需要的值,他是未知的,因此,必须有一个启动的处理,因而这种算法不是自起步的。由
9、于和是已知的,所以,由时的式(3.15)和(3.16),可解得 (3.19) 使用中心差分法的逐步求解过程如下:A 初始计算(1)形成刚度矩阵,质量矩阵和阻尼矩阵。(2)给定初始值和。(3)选择时间步长,并计算积分常数: ,。(4)计算。(5)形成有效质量矩阵。(6)三角分解:B 对每个时间步计算 (1)计算时刻的有效载荷 。 (2)求解时刻的位移 (3)如果需要计算时刻的速度和加速度 应当指出,这种中央差分算法,左端的系数矩阵只与质量阵和阻尼阵有关,而与刚度阵无关。如果质量阵和阻尼阵是对角阵,那么在解方程时,就不需要对系数阵进行三角分解,即不需要解线性代数方程组,从第一步开始逐次直接求得各个
10、时刻的值,这是中央差分格式就是一种显示的格式。此外,由于不求解代数方程组,也就不需要进行组集,它的右端项的形成也只须在单元一级水平上,由每个单元对有效载荷矢量的贡献迭加而成。因此,ADINA程序规定,在用中心差分法时,必须使用对角的质量阵和阻尼阵。从计算稳定性角度来看,中心差分法的缺点,在于它是条件稳定的,即当时间步长太大 时,积分是不稳定的。所以,对步长的限制是这里,是临界步长值,是有限元系统的最小周期。这样,当很小时,就限制了必须很小,所以求解所花的代价就很大。3.5 线性加速度法和Wilson-法 线性加速度法和Wilson -法,都是属于逐步积分法。线性加速度法是假定在时间间隔内,即在
11、步长时间内,加速度呈线性变化,其表达式为 (3.20)其中,。但是,这个方法不是无条件稳定的,所以在应用上受到限制。70年代初期,Wilson推广了线性加速度法,他假定在此步长更大的时间区间内,加速度仍保持线性变化,经过证明,当时,这一方法是无条件稳定的,这就是Wilson -方法。 这个方法的加速度表达式为 (3.21)显然,对比式(3.20)和式(3.21)得知,线性加速度法是Wilson -法中,当时的一个特例。所以,我们只讨论Wilson -法就够了。 在区间内,对式(3.21)进行积分,得到 (3.22)和(3.23)令,由上二式,有 (3.24) (3.25)从这二式,可将时刻的加
12、速度和速度用位移来表示即 (3.26) (3.27)于是,在时刻的动力方程为 (3.28)式中,将(3.26)和式(3.27)代入式(3.28),就得到关于的方程为(3.29)记于是,式(3.29)可写为 (3.30)求解方程(3.30),则得到 将求解得到的,代入(3.26)中,就得到。如在(3.21)中,取,并将式(3.26)代入,有 (3.31)将(3.21)代入式(3.22)和(3.23),并取,有 (3.32) (3.33)用法逐步求解的过程如下:(1) 形成刚度矩阵,质量矩阵和阻尼矩阵。(2) 给出初始值,和。(3) 选择时间步长,取,并计算积分常数,, , , , , , , (4)形成有效刚度矩阵:(5)对作三角分解:B对每个时间步计算(1)计算时刻的有效载荷(2)计算时刻的位移(3)计算时刻的位移,速度和加速度与中心差分法相比较,Wilson-法是隐式积分,即每计算一步,必须解一个线性代数方程组。当时,它是无条件稳定的。此外,这种算法是自起步的,时刻的位移,速度和加速度都可由时刻的变量表示,不需要特别的起动处理。3.6
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