凯恩方程介绍PPT文档格式.ppt

1、,变换求和次序，得:,令,则,由于是彼此独立的，于是有,凯恩方程,式中 和 分别称为系统对应于第个独立速度的广义主动力和广义惯性力。,第5页,10.2 凯恩方程,凯恩方程,将这 f 个方程与 g 个非完整约束方程联立求解，则可得到 f+g 个关于广义坐标qj（t）的方程组，求其解即可确定系统的运动规律。由此可见，利用凯恩方法建立系统的动力学方程，关键是计算系统的广义主动力和广义惯性力。,凯恩方程,第6页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算,广义主动力 广义惯性力,第7页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,对于完整系统，如果取广义速度 为独立速度（=j

2、），由上节可知，偏速度，于是广义主动力,也就是说，广义主动力即为拉格朗日方程中系统对应于广义坐标的广义力。对照第二类拉格朗日方程，根据凯恩方程给出的结果，广义惯性力可由系统的动能表示，即,因此，对于完整系统，凯恩方程与第二类拉格朗日方程是等价的。,第8页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,对于一般的质点系，广义主动力可表述为：,质点系中每一质点上作用的主动力与该点对应于某一独立速度的偏速度的标积之和，称为系统对应于该独立速度的广义主动力。,以K表示，即,对于刚体，广义主动力可表述为：作用于刚体简化中心上的主矢和主矩，分别与该点对应于某一独立速度的偏速度与偏角速度的

3、标识之和，称为刚体对应于该独立速度的广义主动力。假设O点为刚体的简化中心，则有,第9页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,现进行证明：当刚体作一般运动时，其上任一质点 i 的速度,式中 表示简化中心的速度，表示刚体的角速度，表示质点i相对简化中心 O 点的矢径。,、和 可用伪速度表示，即,将上式代入,比较等式两边 前面的系数，可得,第10页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义主动力,上式表明，刚体上第 i 个质点相对第个独立速度的偏速度，可用刚体简化中心O点和刚体相对第个独立速度的偏速度和偏角速度表示。将上式代入广义主动力的表达式，则有,则,

4、若系统由N个刚体组成，则,第11页,在计算惯性力时，需对各点的加速度进行分析，然后在每个质点上加上惯性力，算出每一质点上作用的惯性力与该点对应于某一独立速度的偏速度的标积之和，即为系统对应于该独立速度的广义惯性力。对于刚体，与计算广义主动力的推导方法相同，得,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义惯性力,对于质点系，可由下式计算出,若将简化中心选在刚体的质心 C 上，则,式中M为刚体的质量，aC 为质心的加速度。,第12页,10.2 凯恩方程,广义主动力和广义惯性力的计算_,广义惯性力,若取质心 C 为平动坐标系的原点，则有,表示刚体上第 i 个质点相对于平动坐标系的加速度，,又因，则,令,则,同理可得整个刚体系统的广义惯性力,式中角标 Ci 表示第 i 个刚体的质心。,第13页,10.2 凯恩方程,例10-7 长为2l，质量为 m 的均质杆 AB 在水平面上运动。A 端的速度始终沿着 AB 杆方向。试用凯恩方程建立杆 AB 的运动微分方程。,解：这是两个自由度的非完整系统，取，沿C系的单位质量为 和，垂直纸面朝上。,由此得到偏速度和偏角速度为：,杆的角加速度和质心加速度为：,第14页,10.2 凯恩方程,系统只受重力作用，垂直于、，而主矩 为零，因而，广义主动力：,广义惯性力:,由凯恩方程得：,若将，代入上式，得：,