导数公式的证明版.docx

1、导数公式的证明版导数的定义：f(x)=lim y/x x0（下面就不再标明x0了）用定义求导数公式（1）f(x)=xn 证法一：（n为自然数）f(x)=lim (x+x)n-xn/x=lim (x+x-x)(x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)/x=lim (x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)=x(n-1)+x*x(n-2)+x2*x(n-3)+ .x(n-2)*x+x(n-1)=nx(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=xnlnf(x)=nlnx(lnf(x)=(nlnx)f(x)

2、/f(x)=n/xf(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*xnf(x)=nx(n-1)（2）f(x)=sinxf(x)=lim (sin(x+x)-sinx)/x=lim (sinxcosx+cosxsinx-sinx)/x=lim (sinx+cosxsinx-sinx)/x=lim cosxsinx/x=cosx（3）f(x)=cosxf(x)=lim (cos(x+x)-cosx)/x=lim (cosxcosx-sinxsinx-cosx)/x=lim (cosx-sinxsinx-cos)/x=lim -sinxsinx/x=-sinx（4）f(x)=ax证法一：f(x)=lim

3、 (a(x+x)-ax)/x=lim ax*(ax-1)/x（设ax-1=m，则x=loga(m+1)）=lim ax*m/loga(m+1)=lim ax*m/ln(m+1)/lna=lim ax*lna*m/ln(m+1)=lim ax*lna/(1/m)*ln(m+1)=lim ax*lna/ln(m+1)(1/m)=lim ax*lna/lne=ax*lna证法二：f(x)=axlnf(x)=xlnalnf(x) =xlna f (x)/f(x)=lnaf (x)=f(x)lnaf (x)=axlna若a=e，原函数f(x)=ex则f(x)=ex*lne=ex（5）f(x)=logax

4、f(x)=lim (loga(x+x)-logax)/x=lim loga(x+x)/x/x=lim loga(1+x/x)/x=lim ln(1+x/x)/(lna*x)=lim x*ln(1+x/x)/(x*lna*x)=lim (x/x)*ln(1+x/x)/(x*lna)=lim ln(1+x/x)(x/x)/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=logex=lnx则f(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf(x)=lim (tan(x+x)-tanx)/x=lim (sin(x+x)/cos(x+x)-sinx

5、/cosx)/x=lim (sin(x+x)cosx-sinxcos(x+x)/(xcosxcos(x+x)=lim (sinxcosxcosx+sinxcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinx/(xcosxcos(x+x)=1/(cosx)2=secx/cosx=(secx)2=1+(tanx)2（7）f(x)=cotxf(x)=lim (cot(x+x)-cotx)/x=lim (cos(x+x)/sin(x+x)-cosx/sinx)/x=lim (cos(x+x)sinx-cosxsin(x+x)/(xsin

6、xsin(x+x)=lim (cosxcosxsinx-sinxsinxsinx-cosxsinxcosx-cosxsinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinx/(xsinxsin(x+x)=-1/(sinx)2=-cscx/sinx=-(secx)2=-1-(cotx)2（8）f(x)=secxf(x)=lim(sec(x+x)-secx)/x=lim (1/cos(x+x)-1/cosx)/x=lim (cosx-cos(x+x)/(xcosxcosx)=lim (cosx-cosxcosx+sinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinxsinx

7、/(xcosxcos(x+x)=sinx/(cosx)2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf(x)=lim(csc(x+x)-cscx)/x=lim (1/sin(x+x)-1/sinx)/x=lim (sinx-sin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (sinx-sinxcosx-sinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinxcosx/(xsinxsin(x+x)=-cosx/(sinx)2=-cotx*cscx（10）f(x)=xxlnf(x)=xlnx(lnf(x)=(xlnx)f(x)/f(x)=lnx+1f(x)=(lnx+1)*f(x

8、)f(x)=(lnx+1)*xx（12）h(x)=f(x)g(x)h(x)=lim (f(x+x)g(x+x)-f(x)g(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)-g(x+x)*f(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)*g(x+x)-f(x)*g(x+x)/x=lim (f(x+x)-f(x)*g(x+x)/x+(g(x+x)-g(x)*f(x)/x=f(x)g(x)+f(x)g(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h(x)=lim (f(x+x)/g(x+x)-f(x)

9、g(x)/x=lim (f(x+x)g(x)-f(x)g(x+x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)+g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)*g(x)/(xg(x)g(x+x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=f(x)g(x)/(g(x)*g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)=f(x)g(x)-f(x)

10、g(x)/(g(x)*g(x)x（14）h(x)=f(g(x)h(x)=lim f(g(x+x)-f(g(x)/x=lim f(g(x+x)-g(x)+g(x)-f(g(x)/x（另g(x)=u，g(x+x)-g(x)=u）=lim (f(u+u)-f(u)/x=lim (f(u+u)-f(u)*u/(x*u)=lim f(u)*u/x=lim f(u)*(g(x+x)-g(x)/x=f(u)*g(x)=f(g(x)g(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)（15）y=f(x)=arcsinx则siny=

11、x(siny)=cosy所以(arcsinx)=1/(siny)=1/cosy=1/1-(siny)2(siny=x)=1/1-x2即f(x)=1/1-x2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)=1+(tany)2=1+x2所以(arctanx)=1/1+x2即f(x)= 1/1+x2总结一下（xn）=nx(n-1)（sinx）=cosx（cosx）=-sinx（ax）=axlna（ex）=ex（logax）=1/(xlna)（lnx）=1/x(tanx)=(secx)2=1+(tanx)2(cotx)=-(cscx)2=-1-(cotx)2(secx)=tanx*secx(cscx)=-cotx*cscx(xx)=(lnx+1)*xx(arcsinx)=1/1-x2(arctanx)=1/1+x2f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)/g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)f(g(x)=f(g(x)g(x)