小波分析及应用附常用小波变换滤波器系数Word格式文档下载.docx

1、 （8.1-3） （8.1-4） 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。由式（8.1-3）可知，为了得到，必须有关于f（x）的过去和未来的所有知识，而且f（x）在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f（x）。在时域，哈尔（Haar）基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希

2、尔伯特（Hilbert）基，R. Balian认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论3。” 为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念：定义8.1-1 若选择得使W与它的傅里叶变换满足：那么使用W作为窗函数，在

3、式（8.1-5）中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换”（STFT）： （8.1-5）当窗函数选择为高斯（Gaussian）函数时，则为Gabor变换2。 STFT的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT无法满足要求，此外，STFT的冗余很大，增加了不必要的计算量。 小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到应用。 小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar提出Haar规范

4、正交基，以及1938年Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的L-P理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是1984年法国地球物理学家Morlet引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。在数学方面所做的探索主要是R. Coifman和G. Weiss创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron使用了非常象“小波”的函数构造了Stein和Weiss的空间的无条件基。直到1986年，法国数学家Meyer成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数，它的二进

5、伸缩与平移构成的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不可能的，如Daubechies,Grossman和Meyer都退而研究函数系构成的框架的条件去了。 Lemarie和Battle继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat快速小波分解和重构算法。1988年Daubechies构造了具有紧支集的正交小波基。Coifman, Meyer等人在1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年A. Cohen, I.

6、Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。 近年来，一种简明有效的构造小波基的方法-提升方案（Lifting Scheme）得到很大的发展和重视4,5。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤6，另外，它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波5。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。8.2 小波变换及其基本性质8.2.1 连续小波变

7、换 ，的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为： （8.2-1）或用内积形式： （8.2-2）式中 要使逆变换存在，要满足允许性条件： （8.2-3）式中是的傅里叶变换。这时，逆变换为 （8.2-4）这个常数限制了能作为“基小波（或母小波）”的属于的函数的类，尤其是若还要求是一个窗函数，那么还必须属于，即故是R中的一个连续函数。由式（8.2-3）可得在原点必定为零，即 （8.2-5）从式（8.2-5）可以发现小波函数必然具有振荡性。 连续小波变换具有如下性质： 性质1（线性）：设，则 性质2（平移不变性）：若，则。平移不变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些

8、，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。 性质3（伸缩共变性）：若，则，其中c0。 性质4（冗余性）：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数存在许多可能的选择。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。8.2.2连续小波变换的离散化由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量a ，b进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取，这时常简写为：。变换形式为： 为了能重构信号，要求是的Riesz基。定义8.2-1 一个函数称为一

9、个R函数，如果在下述意义上是一个Risez基：的线性张成在中是稠密的，并且存在正常数A与B，使对所有二重双无限平方可和序列成立，即对于的成立。 假定是一个R函数，那么存在的一个唯一的Riesz基，它在意义上与对偶。这时，每个有如式（8.2-6）的唯一级数表示： （8.2-6）特别地，若构成的规范正交基时，有重构公式为： （8.2-7）8.3 多分辨分析与Mallat算法8.3.1 多分辨分析 Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当7。定义8.3-1

10、 空间的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列，使其具有以下性质：（1） 单调性（包容性）（2） 逼近性：（3） 伸缩性： （4） 平移不变性： （5）Riesz基存在性：存在，使得构成的Riesz基。 在定义8.3-1中，对应于分辨率，在有些文献中2,8，对应于分辨率，这时，性质（1）、（3）中子空间的下标要做相应的变化。定理8.3-1 令是空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数使得 （8.3-1）必定是内的一个标准正交基，其中称为尺度函数。 式（8.3-1）中的系数是为了使的范数为1。引入尺度函数的目的是为了构造正交小波基，图8.3-1（a）为一指数衰减、连续可微分的尺度函数，图（b）

11、是其傅里叶变换。显然，尺度函数与低通滤波器的形状相同。（a）尺度函数的图形 （b）尺度函数的傅里叶变换图8.3-1 DB9尺度函数 若生成一个多分辨分析，那么也属于，并且因为是的一个Riesz基，所以存在唯一的序列，它描述尺度函数的两尺度关系： （8.3-2）由性质（1）可知，所以 （8.3-3）反复应用式（8.3-3），得 （8.3-4）同样，象生成一样，存在一个函数生成闭子空间，且有与式（8.3-2）类似的双尺度方程 （8.3-5）式（8.3-5）称为小波函数双尺度方程。由式（8.3-2）、（8.3-5）可知，尺度函数与小波函数的构造归结为系数的设计，若令，则把尺度函数和小波函数的设计可以

12、归结为滤波器的设计。构造正交小波时滤波器与必须满足以下三个条件： （8.3-6） （8.3-7） （8.3-8）联合求解式（8.3-7）和（8.3-8）可得 （8.3-9）由式（8.3-9）立刻可得 （8.3-10）所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器。8.3.2正交小波变换 式（2.2-7）式说明由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基在对信号进行分解和重构方面是十分有用的。问题是这样的单个小波母函数是否存在呢？若存在是什么样的呢？ 这样的小波母函数是存在的，节8.3.1的多分辨分析给出了具体的构造方法，下面先给出几个具有解析表达式的例子9。 Haar小波母函数： Shannon小波母函数： Shannon小波母函数是无限次可导的，这比存在不连续点的Haar小波母函数要优越，可是Haar系函数的支集是紧的，Shannon系的函数不仅不是紧支的，且当时趋于零的速度仅为，故当用Shannon系对函数进行分解时，分解系数不能很好地反映信号的局部特征。 Haar小波的缺点是不连续，利用卷积的方法可以将它变得光滑起来，通过正交化方法，这就构成了由B样条函数所生成的正交小波函数。崔锦泰详细研究了用基数-B样条函数构造小波的方法2。下面式（8.3-11）给出一个用B样条构造的正交小