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1、（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值【例2】已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 13（太原市竞赛试题）待求式求表示为关于x（或y）的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x、y的隐含限制【例3】，在的范围内最小值2a，最大值2b，求实数对（a，b）.解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴的关系得出结论【例4】（1）已知的最大值为a，最小值b，求的值（“数学周报杯”竞赛试题）（2）求使取得最小值的实数的值 （全国初中数学联赛试题）（3）求使取得最小值时x，y的值（“我爱数学”初中

2、生夏令营数学竞赛试题）解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等 【例5】如图，城市A处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？（河南省竞赛试题）设铁路与公路的交点为C，ACx千米，BCy千米，ADn千米，BDm千米，又设铁路每千米的运费为a元，则从A到B的运费，通过有理化，将式子整理为关于的方程 【例6】（1）设，（），为kr1个互不相同的正整数，且xrxr1xk2003，求的最大可能值（香

3、港中学竞赛试题）（2）a，b，c为正整数，且，求c的最小值对于（1），因r1，对kr1 k11k个正整数x1，x2，xk，不妨设x1x2xk2013，可见，只有当各项x1，x2，xk的值愈小时，才能使k愈大（项数愈多），通过放缩求k的最大值；对于（2），从入手能力训练 A级1已知三个非负数a，b，c，满足3a2bc5和2ab3c1，若m3ab7c，则m的最小值为_，最大值为 2多项式p2x24xy5y212y13的最小值为 3已知x，y，z为实数，且x2yz6，xy2z3，那么x2y2z2的最小值为 （“希望杯”邀请赛试题）4若实数a，b，c，满足a2b2c29，则代数式（ab）2（bc）2（

4、ca）2的最大值为 （ ）5已知两点A（3，2）与B（1，1），点P在y轴上且使PAPB最短，则P的坐标是（ ） A.（0，） B.（0，0） C.（0，） D.（0，）（盐城市中考试题）6正实数，满足，那么的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. E. （黄冈市竞赛试题）7某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元试用销售单价表示毛利润；试问：销售

5、单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8方程有一根不大于，另一根不小于，（1）求的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值（江苏省竞赛试题）9已知实数a，b满足，求的最大值与最小值10.已知a，b，c是正整数，且二次函数的图象与x轴有两个不同的交点A，B，若点A，B到原点的距离都小于1，求abc的最小值（天津市竞赛试题）11某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为元（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维

6、修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B级1a，b是正数，并且抛物线和都与x轴有公共点，则的最小值是 2设x，y，z都是实数，且满足xyz1，xyz2，则的最小值为 3如图，B船在A船的西偏北45处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离为 km（全国初中数学竞赛试题）4若a，b，c，d是乘积为1的四个正数，则代数式a2b2

7、c2d2abbcacadbdcd的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 10 5已知x，y，z为三个非负实数，且满足3x2yz5，xyz2. 若s2xyz，则s的最大值与最小值的和为（ ） A. 5 B. C. D. （天津市选拔赛试题）6如果抛物线与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么ABC的面积的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日

8、销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式：.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9已知为x，y，z为实数，且，试求的最大值与最小值10已知三个整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c值（四川省竞赛试题）11设x1，x2，xn是整数，并且满足： 1xi2，i1，2，n x1x2xn19 x12x22

9、xn299求x13x23xn3的最大值和最小值（国家理科实验班招生试题）12已知x1，x2，x40都是正整数，且x1x2x4058，若x12x22x402的最大值为A，最小值为B，求AB的值例1. 4 提示：原式=.例2.B提示：由-1y1有0x1，则z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是开口向上，对称轴为的抛物线.例3.分三种情况讨论：0ab，则f（x）在axb上单调递减，f（a）=2b，f（b）=2a，即解得ab0，则f（x）在axb上单调递增，f（a）=2a，f（b）=2b，即此时满足条件的（a，b）不存在.a0b，此时f（x）在x=0处取得最大值，即2b=f（0）=,b=,而

10、f（x）在x=a或x=b处取最小值2a.a0，则2aan，即，故S最小=.例6（1）设x11，x22，xkk，于是1+2+kx1+x2+xk = 2003，即k（k+1）4006，6263=390640064032=6364，k62. 当x1=1，x2=2，x61=61，x62=112时，原等式成立，故k的最大可能值为62.（2）若取，则由小到大考虑b，使为完全平方数.当b=8时，c2=36，则c=6，从而a=28.下表说明c没有比6更小的正整数解.显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.cC4x3（x3c4）C4- x32161，817,83811,8,27,6480,7

11、3,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113A级1 21 314 提示：y=5x,z=4x，原式=3（x3）2+14 4A提示：原式=27（a+b+c）2 5D 6C 7（1）y=x+1000（500x800） （2）S=（x500）（x+1000）=x2+1500x500000（500x800）;S（x750）2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件 8（1）4m2 （2）设方程两根为x1，x2，则x12+x22=4（m）2+10，由此得x12+x22最小值为10，最大值为101 9设a2ab+b2=k，又a2+ab+b2=1，由得ab= （1k），于是有（a+b）2= （3k）0，k3，从而a+b=故a，b是方程t2t+=0的两实根，由0，得 10设A（x1,0），B（x2，0），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=0，得x10，x20，得b|OA|=|x1|1，|OB|=|x2|1，1x10，1x20，于是=x1x21，c0，a+cb又a，b，c是正整数，有