1、因为,不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的。例1(2000年泉州市)写出一个只含有字母x的代数式(要求:(1)要使此代数式有意义,字母x必须取全体正数;(2)此代数式的值恒为负数):_。解-(或-,-,)。评注自编问题型的答案是丰富多彩的,只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可。例2(2000年安徽省)比较下面两列算式结果的大小(在横线上选填“”“、=。一般结论:如果a,b是两个实数,那么a2+b22ab。(a-b)20,a2-2ab+b20,a2+b22ab。评注解阅读理解题应:细看感悟材料的表象;泛想归纳材料的共性;敢猜揭示材料的规律;慎证说明猜想的合理性。例3(1998年河北省)某
2、工厂有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料生产A,B两种产品共50件。已知生产一件A种产品,需用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利润1200元。(1)按要求安排A,B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来。(2)设生产A,B两种产品获总利润为y(元),其中一种产品的生产件数为x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?解(1)设安排生产A种产品x件,则生产B种产品(50-x)件。由得30x32。x为整数,x取30,31或32。生产方案有三
3、种:生产A种产品30件,B种产品20件;生产A种产品31件,B种产品19件;生产A种产品32件,B种产品18件。(2)依题意得:y=700x+1200(50-x),y=-500x+60000,y随x的增大而减小,当x=30时,y的值最大。即按第一种方案安排生产,所获最大利润为45000元。评注这道题集决策运筹、方案设计和数学建模于一身。对于方案,通常不止一套,但我们应选最佳的。特别是几何图形的设计,更应如此。至于决策题,通常与经济题紧密相联,涉及到函数和不等式(组)等知识。解这类题的关键是建立相应的数学模型。运用数学建模方法解决实际问题,一般要经过三个环节:实际问题数学问题算式、方程、不等式(
4、组)、函数 解答数学问题回归实际问题。例4(1999年扬州市)若函数y=的自变量x取值范围是一切实数,则c的取值范围是( )(A)c1(B)c=1(C)c1(D)c1解应选A。评注解答信息迁移型开放题,要在已有知识的基础上,设置一个新的数学情景,根据引入的新内容,通过类比,转换至似曾相识的问题来解。本题的命题和解题都属信息迁移型。按常规,由x2+2x+c0来求c的值,是难以办到的。不过,若将x2+2x+c0理解为:当c为何实数时,关于x的方程x2+2x+c=0无实根?则可得1。例5设抛物线y=x2-(m-1)x+(m+2)与y轴相交于点C,与x轴交于A,B两点(A在B的左边),O为坐标原点,以
5、OA、OB为直径作O1、O2,且这两个圆外切。(1)求m的取值范围;(2)这两个圆的半径是否相等?若相等,求出其半径;若不相等,请指出哪一个圆较大?(3)是否存在这样的m值,使OC2=OAOB?如果存在,判定ABC的形状;并证明你的结论;如果不存在,请说明理由。略解设A(x1,0),B(x2,0),x1X2,则(1)由得m-2。(2)由x1+x2=m-1-30,得两圆半径不等,且以OA为直径的圆较大。(3)假设存在这样的m值,使OC2=OAOB,则(m+2)2=-(m+2),m=-3。此时ABC是直角三角形,证COABOC即可。评注第(2)题属于单一判断型开放题,由于“单一判断”是非此即彼,所
6、以解答这类题,只要通过正确计算(或推理)即可得出结论。第(3)题属条件存在型开放题。由于条件存在型开放题的特征是“结出结论,逆向寻求条件是否存在”,所以,一般要用反证法思想解题。第一步假设存在。第二步:根据假设进行推理。若推理顺畅,即可求出所寻的条件;若出现矛盾,则表明所寻条件不存在。值得注意的是,近年来,条件存在型问题,在各地中考开放性数学试题中出现的频率最高。例6在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90,AB=8厘米,AD=24厘米,BC=26厘米,AB为O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。P,Q分别从点A,
7、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。求:(1)t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?(2)t分别为何值时,直线PQ与O相切、相交、相离?解(1)ADBC,只要QC=PD,则可得;平行四边形PQCD,此时3t=24-t,t=6,即当t=6秒时,四边形PQCD为平行四边形。PDPC,只要PQ=CD且PDQC,四边形PQCD即为等腰梯形。如图2,作PEBC于E,DFBC于F,则由等腰梯形的性质可知:EF=PD,QE=FC=2,2=3t-(24-t),t=7,即当t=7秒时,四边形PQCD为等腰梯形。(2)设运动t秒时,直线PQ与O相切于点F(如图
8、3),作PHBC于H,则PH=AB=8,BH=AP,根据切线长定理可得PQ=PF+FQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t,而PQ2=PH2+HQ2,(26-2t)2=82+(26-4t)2。t1=,t2=8,即当t=秒或t=8秒时,PQ与O相切。当t=0秒时,PQ与O相交;当t=8秒进,当Q运动到B点,点P尚未运动到点D,但也停止了运动,此时PQ也与O相交。当0t秒或8t8秒时,PQ与O相交。当秒,t8秒时,直线PQ与O相离。评注本例是一道典型的过程动态开放题,在全面实施素质教育的今天,倍受中考命题者的青睐。因为它所强化的数学素养,对学生后续学习意义深远。解决这类问题的关键是分析运动变化
9、过程,寻找变化中的特殊位置。即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”,再列出特殊位置时的数学表达式,运用分类讨论的思想,各个击破。其实本例第(1)问也是一种结论明显的分类讨论题。但在解隐含性结论(或过程)分类讨论型开放题时,要首先确定好分类的标准,再行讨论,切切不能重复、不能遗漏。若将本例的第(2)问改为:“确定在运动过程中PQ与O的位置关系”,则它就成了一道探索结论型的开放题。由于需要探索的结论目标不明确,且结论往往不唯一,所以这类题是开放型数学试题中难度较高的一类。解决这类问题,需要有扎实的基础知识,较强的发散思维能力。因此,遇到此类题,必须仔细审题,善于运用分析、联想、类比、分类等数学思
10、想及方法才能解决。其解题的基本策略是:从已知开始,层层演绎推理,后步可用前步的结论,直至结论被推出,特别重视可能出现的多解情况。至于题设取舍型,顾名思义,即是提供的条件过多,解题时应正确取舍,你能举出这方面的中考数学开放试题吗?例7. 善于学习的小敏查资料知道:对应角相等,对应边成比例的两个梯形,叫做相似梯形,他想到“平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”,提出如下两个问题,你能帮助解决吗?问题一:平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似?(1)从特殊情形入手探究。假设梯形ABCD中,AD/BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,MN是中位线(
11、如图2)。根据相似梯形的定义,请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似?图2(2)一般结论:平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。不要求证明)。问题二:平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?(1)从特殊平行线入手探究。梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。(2)从特殊梯形入手探究。同上假设,梯形ABCD中,AD/BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,你能找到与梯形底边平行的直线PQ(点P、Q在梯形的两腰上,如图2),使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗?请根据相似梯形的定义说明
12、理由。图2(3)一般结论:对于任意梯形(如图2),一定(填“存在”或“不存在”)平行于梯形底边的直线PQ,使截得的两个小梯形相似。图2若存在,则确定这条平行线位置的条件是。(不妨设AD=a,BC=b,AB=c,CD=d。分析:问题一(1)因为MN是中位线,所以显然对应边不成比例,所以梯形AMND与梯形ABCD不相似。(2)平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似。问题二(1)因为MN是中位线,显然两梯形对应边不成比例,所以梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似。(2)如果梯形APQD与梯形PBCQ相似则解得PQ=4,此时又AB=6,所以AP=2,所以当AP=2,且PQ/BC时,又两
13、梯形对应角相等,所以梯形APQD与梯形PBCQ相似。(3)对于任意梯形,一定存在平行于梯形底边的直线PQ,使截得的两个小梯形相似。此时, 所以评注:这类问题建立在已学知识的基础上研究、发现、拓展相似形问题为素材设计的一道创新型阅读理解题。解答这类阅读理解题的关键是在阅读、理解的基础上,由题中提供的信息,联系所学知识,运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移,从而掌握符合问题的条件及其性质的运用;它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力,又能考查学生的自学能力,信息的收集、迁移和应用能力。例8如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN(图甲),再把B点叠在折痕MN上的处。得到(图乙),再延长交AD于F,所得到的是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形答案:B
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