初中几何辅助线大全最全Word文件下载.docx

1、T DBE ZCAE（已证）BD =AC（已知） DBEm CAE （ AASED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等）ED- EA= EC EB即：（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） - . . .- - -、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长如图 9-1 :在 Rt ABC中，AB- AC, / BAC- 90，/ 1 = Z 2，CEL BD的延长于 E。求证：BD= 2CE要证 BD = 2CE，想到要构造线段 2CE，同时图9TCE与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。分别

2、延长 BA CE交于点F。/ BEX CF （已知）/ BEF=/ BEC= 90在厶BEF与厶BEC中，2仁.2（已知）BE =BE（公共边） |./BEF 二/BEC（已证）1 BEFA BEC（ASA - CE=FECF （全等三角形对应边相等）2/ BAC=90 BE 丄 CF （已知）/ BAC=/ CAF= 90 / 1 + / BDA= 90/ 1 + Z BFC= 90/ BDA=/ BFC在厶ABMA ACF中BAC = CAF （已证）BDA = BFC （已证）AB = AC（已 知） ABDA ACF （AAS BD= CF （全等三角形对应边相等） BD= 2CE四、

3、取线段中点构造全等三有形。由AB = DC ,ZA =ZD，想到如取 AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有ABN也QCN，故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB，再取 BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有 NBM也ACM，所以/NBC = ZNCB。问题得证。取 AD, BC的中点 N、M连接 NB NM NG贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCNAN二DN （辅助线的作法） 中 na=zd（已知）.AB = DC （已知） ABNA DCN （ SAS/ ABN=Z DCN NB = NC （全等三角形对应边、角相等）在厶 N

4、BM NCM中BM = CM （辅助线的作法）NM = NM （公共边） NMB NCM , （SSS） NBC =Z NCB （全等三角形对应角相等）/ NBC +ZABN =Z NCB +Z DCN 即/ ABC = Z DCB。巧求三角形中线段的比值例 1.如图 1,在厶 ABC中, BD DC= 1: 3, AE: E 2: 3, AF: FG解：过点D作DG/AC,交BF于点G所以 DG FC= BD BC因为 BD DG= 1 : 3 所以 BD BO 1 : 4即 DG FC= 1: 4, FC= 4DG因为 DG AF= DE AE 又因为 AE ED= 2 : 3所以 DG

5、AF= 3 : 2即 EF: GC= 1: 2,所以 BC: BD= 1 : 2 CG : D匚 1 : 2 即 DE= 2GC1 3 1 32GC-GC= -GC -GCi -GC = L 3因为 FD= ED- EF= - 所以 EF: FD=:小结：以上两例中，辅助线都作在了 “已知”条件中出现的两条已知线段的交点处， 且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。 请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例 3.如图 3, BD DO 1 : EB= 2: 3,求 AF: FDb过点B作BG/AD,交CE延长线于点 G所以 DF: BG= CD CB例 4.如图 4, BD DO 1 : 3, AF

6、= FD,求 EF:过点D作DG/CE,交AB于点G2.如图 6, AD DB= 1 : EC= 3 : 1,求 BF: FC。 - I I -Illi. illi -lii” 一 i 1 - i-11 11 . 1 - 1 - - 1 - - - -因为 BD DC= 1 : 3 所以 CD CB= 3 :二由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。1从角平分线上一点向

7、两边作垂线；2利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（）、截取构全等例 1. 如图 1-2，AB/CD, BE平分/ BCD CE平分/ BCD 点 E 在 AD上,求证：BC=AB+CD此题中就涉及到角平分线，可以利 用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分 线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段 的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题 中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长短的线段或在长的线段长截取一 部分使之等

8、于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的例2. 已知：如图 1-3，AB=2ACZ BAD2 CAD DA=DB 求证 DC!AC此题还是利用角平分线来构造全等三角形。 构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明例3. 已知：如图1-4，在 ABC中，/ C=2/ B,AD 平分/ BAC,求证：AB-AC=CD此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的

9、 延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 1.如图 2-1，已知 ABAD, / BAC/ FAC,CD=BC 求证：/ ADC/ B=180可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC 与/B之和为平角。例2.如图 2-2，在 ABC中,/ A=90 ，AB=AC/ ABD/ CBDBC=AB+AD过D作DEL BC于E,则AD=DE=CE则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题， 从中利用了相当于截取的方法。例3.已知如图2-3 , ABC的角平分线 BM CN相交于点P

10、。/ BAC的平分线也经过点P。连接AP,证AP平分/ BAC即可，也就是证P到ABAC的距离相等。从角的一边上的一点作角平分线的垂线， 使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高， 以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）。例 1. 已知：如图 3-1，/ BAD=/ DAC ABAC,CdAD于 D, H是 BC中点。DHd （AB-AC延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证例2.已知：如图 3-2，AB=ACZ BAC=90，AD为/ ABC的平

11、分线，CE! BE.求证：BD=2CE给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角例3.已知：如图3-3在厶ABC中，AD AE分别/ BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于MAM二ME由AD AE是/ BAC内外角平分线，可得EA 丄AF,从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4.已知：如图3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD延长线于 M 求证：AM二（AB+AC题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作 ABD关于AD的对称 AED然后

12、只需证DM二EC另外由求证的结果AM二（AB+AC，即2AM=AB+AC也可 2尝试作 ACM关于CM的对称 FCM然后只需证DF=CF即可。三由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等 于另一条；2、 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理

13、证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例 1.如图，AC平分/ BAD CE! AB 且/ B+Z D=180，求证：AE=AD+BEA r DF 分 ACC例3已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC Z A=108EB 求证：BC=AB+DC例4如图，已知 Rt ABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分线，DMLAB于 M,且 AM=M。CD=2 DB1.如图，AB/ CD AE DE分别平分/ BAD各/ ADE 求证：AD=AB+C。2.如图， ABC中，/ BAC=90，AB=AC AE是过 A的一条直线，且 B，C在AE的异侧，BDL AE于 D, CELAE于 E。BD=DE+CE四由中点想到的辅助线