1、时)与气温(单位:)之间的关系,随机选取了天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表:(单位:)时)由表中数据得线性回归方程:,则由此估计:当某天气温为时,当天用电量约为( )A千瓦时 B千瓦时 C.千瓦时 D千瓦时7.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为( )8.知平面向量,满足,且,则向量与夹角的正弦值为( )9.设,则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过的素数中,随机选取两个不同
2、的数,其和等于的概率是( )11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点,与圆交于、两点,若有三条直线满足,则的取值范围为( )12.设函数,函数,若对任意的,总存在,使得,则实数的取值范围是( )C. D 第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设满足约束条件,则的最大值为 14.聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟。”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则 15.已知是等比数列的前项和,若存在,满足,则数列的公比为 16.如图,在边长为(为自然对数的底数)的
3、正方形中,阴影部分的面积为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在中,角、的对边分别是、,且.(1)求角的大小;(2)若,求面积的最大值. 18. 如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.(1)证明:;(2)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.19. 某家电公司销售部门共有名销售员,每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间(单位:百万元)内,现将其分成组,第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为,并绘制出如下的频率分布直方图.(1)求的值,并计算完成年度任务的人数;(2)用分层抽样的方法从这名销
4、售员中抽取容量为的样本,求这组分别应抽取的人数;(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取名,奖励海南三亚三日游,求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.20. 已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为尝(1)求椭圆的方程;(2)若直线与相交于两点,与相交于两点,且,求的取值范围.21. 已知函数,.(1)讨论的单调区间;(2)若恒成立,求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆的
5、极坐标方程为.(1)分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若直线与圆相切,求实数的值.23.选修4-5:不等式选讲设函数.(1)当时,解不等式;(2)若在上恒成立,求的取值范围.数学(理科)参考答案一、选择题1-5:DCCBC 6-10:ADDAC 11、12:BD二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.【解析】(1)由正弦定理可得:.从而可得:,即又为三角形内角,所以,于是,又为三角形内角,所以.(2)由余弦定理:得:,所以如,所以,面积的最大值为.18.【解析】依题意,以点为原点,以、为轴建立空间直角坐标系如图,可得,由为校的中点,得,(1)向量,故(2).,.
6、,由点在棱上,设,故,由,得.因此, 即,设为平面的法向量,即,即不妨令,可得为平面的一个法向量,取平面的法向量,则所以二面角的余获值为19.【解析】(1), 完成年度任务的人数为(2)第组应抽取的人数为,第组应抽取的人数为.第组应抽取的人数为,第组应抽取的人数为(3)在(2)中完成年度任务的销售员中,第组有人,记这人分别为;第组有人,记这人分别为;从这人中随机选取名,所有的基本事件为,.,A.B1,A,B2,AsB,B1B2,B1B1,B.B1,共有个基本事件。获得此奖励的名销售员在同一组的基本事件有个,故所求概率为20.【解析】(1)由题意可知:又椭圆的上顶点为,双曲线的渐近线为:由点到直
7、线的距离公式有:(2)易知直线的斜率存在,设直线的方程为,代入,消去并整理得:要与相交于两点,则应有:设,则有:,.又.又:,所以有: ,将,代入,消去并整理得:要有两交点,则.由有: 设、.有:, 将代入有:,令,令,.所以在内恒成立,故函数在内单调递增,故.21.【解析】(1),当时,即时,在上恒成立,所以的单调减区间是,无单调增区间当时,即时,由得.由,得,所以的单调减区间是,单调增区间是(2)由题意,恒成立,.,时,.(),在上单调递增.,舍去。时,(),在上单调递减,.,成立时, ():时.在上单调递增,舍去。综上, 22.【解析】(1)直线的直角坐标系方程是,圆的直角坐标方程是(2)由(1)知圆心为,半径,设图心到直线的距离为,因为直线与圆相切,所以解得23.【解析】(1)当时,不等式.当时,解得;当时,无解;当时,解得,综上所述,不等式的解集为(2),解得或,即的取值范围是
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