最新人教A版选修22高中数学《第2章 推理与证明》公开课教学设计Word下载.docx

1、设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识课程标准的上述要求决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去5本章具体的教学目标是：（1）结合已经学过的数学实例

2、和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理（6）通过对实例的介绍（如欧基里德几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公理化思想（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用教材解读：1根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以

3、后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去以上各点可以从第一节合情推理与演绎推理的展开框图中看出：2和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用因为除了案例分析，我们实

4、在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段教学方法与教学建议：1在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的2本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生熟悉的，他们早就在自觉

5、或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础3在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯4教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想教学的重点在于通过具体实例理解

6、合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求5数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值6公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想下面是具体的教学建议，供参考 引言1华罗庚教授“摸球”的例子，为推理

7、与证明的学习提供了一个大的背景它具有丰富的教学意义在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想验证猜想再提出猜想再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题本节的教学内容就是依据它展开的21合情推理与演绎推理1合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体

8、的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用2演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察教学中可以让学生举出更多的例子3通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点211 合情推理1合情推理是由G波利亚提出的概念他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）G波利亚并没有为合情推理下定义

9、实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了据此，教科书按照G波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（课程标准给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程）2归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等2111归纳推理1归纳推理是学生熟悉的推理方式和过去不同，在本节中，我们专注

10、于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用2归纳推理的一般模式为： S1具有P， S2具有P， Sn具有P（S1，S2，Sn是A类事物的对象） 所以，A类事物具有P教学中可以介绍给学生3“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + + （2n 1） = n2（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：2 + 1 = 3，2 + 1 = 5，2 + 1 = 17，2 + 1

11、 = 257，2 + 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如2 + 1（n N）的数（通常称为费马数，记作Fn）都是素数此后，一直未有人怀疑过这个结论直到1732年，欧拉发现F5 = 2 + 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜想此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n 1时，Fn的末位数字是7（猜想）2要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西”可

12、以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n1时，Fn的末位数字是7的结论（猜想）4完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理2112类比推理1类比推理是学生熟悉的推理方式和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察2类比推理的一般模式为：

13、 A类事物具有性质a，b，c，d， B类事物具有性质a，b，c，（a，b，c与a相似或相同） 所以，B类事物可能具有性质d3例1是根据等式的性质类比不等式的性质4例2可以看成是系统间的类比用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比在教学中要注意对类比过程的分析5类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的6在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来