1、上面面积计算的单位用“格”,一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米,1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米,1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位,1格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积,省略了相应的长度单位和面积单位.6.1三角形的面积用直线组成的图形,都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是:三角形面积=底高2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式,而且要会灵活运用.例1右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?解:三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角
2、形ABD面积=4三角形ADC面积=2因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意:三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就是三角形的高,所以每个三角形都可看成有三个底,和相应的三条高.例2右图中,BD,DE,EC的长分别是2,4,2.F是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.BC2428.三角形ABC面积=8216.我们把A和D连成线段,组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形DFE面积=1644.例3右
3、图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积.ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FEBE2,它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理,FECD也是长方形,它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半,也就是20122120.通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三
4、角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?把A和C连成线段,四边形ABCD就分成了两个,三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此面积=410220.对三角形ADC来说,DC是底边,高是8,因此面积=78228.四边形ABCD面积=202848.这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE3,DF2,求三角形BEF的面积.要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三
5、个直角三角形的面积三角形ABE面积=3629.三角形BCF面积=6(6-2)212.三角形DEF面积=2(6-3)23.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出:三角形BEF面积=66-9-12-312.例6在右图中,ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ABMD(阴影部分)的面积.四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积,然后用长方形ABCD的面积减去它们,由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来,将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7227.因为M是线段DE
6、的中点,三角形DMC与三角形MCE面积相等,所以三角形MCE面积是723.5.因为BE8是CE2的4倍,三角形MBE与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是3.5414.长方形ABCD面积=7(82)=70.四边形ABMD面积=70-7-1449.6.2有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形,它的两条直角边一样长,这样的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度),还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形,可以拼成一个正方形,如图(a).四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个正方形,如图(b).一个等腰直角三
7、角形,当知道它的直角边长,从图(a)知,它的面积是直角边长的平方当知道它的斜边长,从图(b)知,它的面积是斜边的平方4例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积.从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半,第一个等腰直角三角形的面积是8232.这一个图形的面积是3216842163.例8如右图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么图中阴
8、影部分的总面积是多少?为了说明的方便,在图上标上英文字母D,E,F,G.三角形ABC的面积=222.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边,与三角形ADE的直角边一样长,因此三角形ADE面积=ABC面积24.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积21.阴影部分的总面积是415.例9如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD7,BC3,三个角的度数:角B和D是直角,角A是45.求这个四边形的面积.这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45,角D是90,角E是180-45-904
9、5,所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即772-33这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角A是45,这一条件还用得上吗?图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45和直角,你
10、应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10在右图1115的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?长方形的宽,是“一”与“二”两个正方形的边长之和,长方形的长,是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽=15-114是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和,因此中间小正方形边长=11-4中间小正方形面积=339.如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了.例11从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地(见图),剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划
11、出的长方形土地的面积.剩下的长方形土地,我们已知道长-宽=1(米).还知道它的面积是15.75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?如果能求出,那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起,如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观察一下,就会发现,它的边长,恰好是长方形的长与宽之差,等于1米.现在,我们就可以算出大正方形面积:15.754+1164(平方米).64是88,大正方形边长是8米,也就是说长方形的长+宽=8
12、(米).因此长=(81)24.5(米).宽=8-4.53.5(米).那么划出的长方形面积是4.514.5(平方米).例12如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6,求三角形AEG(阴影部分)的面积.四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)大正方形边长2三角形ADG是直角三角形,它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长),因此三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有,因此,三角形AEH与三角形H
13、CG面积相等,都加上三角形EHG面积后,就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半=66218.十分有趣的是,影阴部分面积,只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系.6.3其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会.例13画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图),求它的面积.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个,面积为1的三角形有5个,面积为1.5的三角形有1个,因此围成面积是44-3-5-1.56.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14下图中ABCD是68的长方形,AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.三角形AEF中,我们知道一边AF,但是不知
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